Encontre a Série de Fourier correspondente a cada função dada.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}0, & -2 \leq x \leq-1 \\\\ 1, & -1<x<1 \\\\ 0, & 1 \leq x<2\end{array}, f(x+4)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado descreve a função periódica de período 4\) \[f(x)= \begin{cases} 0,&-2\le x\le -1,\\\\ 1,&-1<x<1,\\\\ 0,&1\le x<2, \end{cases}
com extensão f(x+4)=f(x)\]. Vamos obter sua Série de Fourier no intervalo \([-2,2], usando L=2. A fórmula geral é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\bigr),
com
a_0=\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx,\quad b_n=\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0. Como f(x)=1 só em (-1,1) e zero fora,
a_0=\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx =\frac1{2}\int_{-1}^{1}1\,dx =\frac1{2}\cdot2 =1.

Passo 3

Como f é função par, todos os b_n se anulam:
b_n=\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx=0.
Para a_n, aproveitamos a paridade e a região onde f=1:
a_n =\frac1{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}1\cdot\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Integramos:
a_n =\Bigl[\frac{2}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo em f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(\tfrac{n\pi x}{2}) e lembrando que \sin(\tfrac{n\pi}{2}) vale zero para n par e (-1)^k para n=2k+1, obtemos:
f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) =\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}\cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).

Resposta

f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr) =\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}\cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).

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