Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
Passo 1
O enunciado pede as séries de Fourier de meia-onda (sobre
com
) de duas naturezas:
- série de senos, que corresponde à extensão ímpar de
a e período ; - série de cossenos, que corresponde à extensão par de
a e mesmo período .
Em ambos os casos usamos a fórmula padrão para coeficientes em:
Passo 2
Cálculo de
para a série de senos (
, e no nosso caso
):
Usando
e integrando, obtém-se
Passo 3
Logo a série de senos vale
Passo 4
Cálculo de
e
para a série de cossenos (
):
Passo 5
Logo a série de cossenos fica
Passo 6
Para esboçar o gráfico da função a que cada série converge, lembramos:
- A série de senos gera a extensão ímpar de
a todo com período . Isso resulta num “coseno” que fica igual a em , muda de sinal em e repete a cada . - A série de cossenos gera a extensão par, isto é,
refletido simetricamente em torno de , periodo .
Em ambos os casos basta desenharem , estender como ímpar ou par até e depois repetir o padrão três vezes para frente e três para trás.
Resposta
Série de senos (extensão ímpar, período
):
Série de cossenos (extensão par, período
):