Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
f(x)=\cos x, 0<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede as séries de Fourier de meia-onda (sobre [0,L] com L=\pi/2) de duas naturezas:
  • série de senos, que corresponde à extensão ímpar de f(x)=\cos x a [-L,L] e período 2L=\pi;
  • série de cossenos, que corresponde à extensão par de f(x) a [-L,L] e mesmo período 2L=\pi.
    Em ambos os casos usamos a fórmula padrão para coeficientes em [0,L]:
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, \quad a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 2

Cálculo de b_n para a série de senos ( n=1,2,\dots, e no nosso caso \tfrac{n\pi}{L}=2n):
b_n = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\;\sin(2n x)\,dx.
Usando \sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)] e integrando, obtém-se
b_n = \frac{8n}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 3

Logo a série de senos vale
\cos x \sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(2n x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}\,\sin(2n x).

Passo 4

Cálculo de a_0 e a_n para a série de cossenos ( \tfrac{n\pi}{L}=2n):
a_0 = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx = \frac{4}{\pi},
a_n = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\;\cos(2n x)\,dx = \,-\frac{4(-1)^n}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 5

Logo a série de cossenos fica
\cos x \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(2n x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4(-1)^n}{\pi(4n^2-1)}\Bigr)\cos(2n x).

Passo 6

Para esboçar o gráfico da função a que cada série converge, lembramos:
  • A série de senos gera a extensão ímpar de \cos x a todo \mathbb{R} com período \pi. Isso resulta num “coseno” que fica igual a \cos x em (0,\pi/2), muda de sinal em (-\pi/2,0) e repete a cada \pi.
  • A série de cossenos gera a extensão par, isto é, \cos x refletido simetricamente em torno de x=0, periodo \pi.
    Em ambos os casos basta desenhar \cos x em [0,\tfrac{\pi}{2}], estender como ímpar ou par até [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e depois repetir o padrão três vezes para frente e três para trás.

Resposta

Série de senos (extensão ímpar, período \pi):
\boxed{ \cos x = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}\,\sin(2n x). }
Série de cossenos (extensão par, período \pi):
\boxed{ \cos x = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4(-1)^n}{\pi(4n^2-1)}\Bigr)\cos(2n x). }

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