Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
Passo 1
Resumindo, temos a função definida em
Vamos obter (i) a série de senos (extensão ímpar, período
). Precisaremos usar as fórmulas de meia-série de Fourier:
Passo 2
Cálculo de
. Escrevemos
Chamando
integramos por partes em
e fazemos mudança de variável em
para mostrar que
Logo
o que implica
se
é par, e
se
.
Passo 3
Para
(ímpar), tem-se
Portanto
Passo 4
A série de senos (extensão ímpar) fica
periódica de período
.
Passo 5
Cálculo de
e
. Primeiro
logo
. Para
,
faz-se parte por partes e mudança de variável, obtendo-se
que dá
se
é ímpar e, para
,
resultando
se
é par, e para
Passo 6
A meia-série de cossenos (extensão par) é
periódica de período
.
Passo 7
Esboço do gráfico para o qual cada série converge (período
):
- Série de senos (extensão ímpar): triângulo que sobe linear de
em até em , desce a zero em , e continua de forma ímpar nos intervalos , , etc. - Série de cossenos (extensão par): triângulo que sobe de
em até em , volta a zero em , e repete-se simetricamente em , , etc.
Dessa forma, em três períodos
teremos um trem de ondas triangulares de amplitude
e base
.
Resposta
Série de senos:
Série de cossenos:
Gráfico: função triangular periódica de período
, subindo linearmente de
a
em
, descendo a
em
, e repetindo simetricamente (ímpar ou par conforme a série).