Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}x, & 0<x<\pi / 2 \\\ \pi-x, & \pi / 2 \leq x \leq \pi\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo, temos a função definida em (0,\pi)\) por \[f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<\tfrac\pi2,\\\ \pi - x, & \tfrac\pi2\le x\le\pi. \end{cases}
Vamos obter (i) a série de senos (extensão ímpar, período 2\pi\]) e (ii) a série de cossenos (extensão par, período \(2\pi). Precisaremos usar as fórmulas de meia-série de Fourier:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx, \quad a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx.

Passo 2

Cálculo de b_n. Escrevemos
b_n=\frac{2}{\pi}\Bigl( \int_{0}^{\pi/2}x\sin(nx)\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx \Bigr).
Chamando
I_1=\int_{0}^{\pi/2}x\sin(nx)\,dx, \quad I_2=\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx,
integramos por partes em I_1 e fazemos mudança de variável em I_2 para mostrar que
I_2 =(-1)^{\,n+1}I_1.
Logo
b_n=\frac{2}{\pi}I_1\bigl[1+(-1)^{\,n+1}\bigr],
o que implica b_n=0 se n é par, e b_{2k-1}=(4/\pi)I_1 se n=2k-1.

Passo 3

Para n=2k-1 (ímpar), tem-se
I_1 =-\frac{\pi/2}{2k-1}\cos\!\bigl((2k-1)\tfrac\pi2\bigr) +\frac{1}{(2k-1)^2}\sin\!\bigl((2k-1)\tfrac\pi2\bigr) =\frac{(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)^2}.
Portanto
b_{2k-1} =\frac{4}{\pi}\,\frac{(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)^2}, \quad b_{2k}=0.

Passo 4

A série de senos (extensão ímpar) fica
\boxed{ f(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{\,k-1}}{\pi\,(2k-1)^2}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr), \quad 0<x<\pi, }
periódica de período 2\pi.

Passo 5

Cálculo de a_0 e a_n. Primeiro
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{0}^{\pi/2}x\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\,dx =\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{8} =\frac{\pi^2}{4},
logo a_0=\pi/4. Para a_n,
a_n=\frac{2}{\pi}\Bigl( \int_{0}^{\pi/2}x\cos(nx)\,dx +\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx \Bigr),
faz-se parte por partes e mudança de variável, obtendo-se
a_n=\frac{2}{\pi}J_1\bigl[1+(-1)^n\bigr],
que dá a_n=0 se n é ímpar e, para n=2k,
J_1=\int_{0}^{\pi/2}x\cos(2kx)\,dx =-\frac{1-(-1)^k}{4k^2},
resultando a_{2k}=0 se k é par, e para k=2m-1
a_{4m-2} =-\frac{2}{\pi\,(2m-1)^2}.

Passo 6

A meia-série de cossenos (extensão par) é
\boxed{ f(x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) = \frac{\pi}{8} -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\cos\bigl(2(2m-1)x\bigr)}{(2m-1)^2}, \quad 0<x<\pi, }
periódica de período 2\pi.

Passo 7

Esboço do gráfico para o qual cada série converge (período 2\pi):
  1. Série de senos (extensão ímpar): triângulo que sobe linear de 0 em x=0 até \tfrac\pi2 em x=\tfrac\pi2, desce a zero em x=\pi, e continua de forma ímpar nos intervalos [-\pi,0], [\pi,2\pi], etc.
  2. Série de cossenos (extensão par): triângulo que sobe de 0 em x=0 até \tfrac\pi2 em x=\tfrac\pi2, volta a zero em x=\pi, e repete-se simetricamente em [-\,\pi,0], [\pi,2\pi], etc.
Dessa forma, em três períodos x\in[-2\pi,2\pi] teremos um trem de ondas triangulares de amplitude \pi/2 e base 2\pi.

Resposta

Série de senos:
f(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{\,k-1}}{\pi\,(2k-1)^2}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr).
Série de cossenos:
f(x)\sim \frac{\pi}{8} -\frac{2}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\cos\bigl(2(2m-1)x\bigr)}{(2m-1)^2}.
Gráfico: função triangular periódica de período 2\pi, subindo linearmente de 0 a \tfrac\pi2 em x=\tfrac\pi2, descendo a 0 em x=\pi, e repetindo simetricamente (ímpar ou par conforme a série).

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