Marque a alternativa correta:
(a) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=-\infty, então \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=0
(b) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1
(c) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=+\infty, então \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=-1
(d) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=+\infty
(e) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=+\infty, então \lim _{x \rightarrow a} f(x)-g(x)=-\infty

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre limites que envolvem valores finitos, zero e infinitos. O conteúdo principal é a análise de formas indeterminadas e propriedades de operações (produto, quociente e diferença) quando os limites de f(x) e g(x) são zero ou \pm\infty. Vamos testar cada alternativa e ver quais são sempre verdadeiras ou se há contraexemplos.

Passo 2

Testando a alternativa (a): “Se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=-\infty, então \lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.”
Forma 0\cdot(-\infty) é indeterminada. Por exemplo, seja f(x)=x e g(x)=-1/x^2 quando x\to0. Então \lim_{x\to0}f(x)=0, \lim_{x\to0}g(x)=-\infty e
f(x)\,g(x)=x\cdot\bigl(-1/x^2\bigr)=-1/x\to -\infty\neq0.
Logo (a) é falsa.

Passo 3

Testando a alternativa (b): “Se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0, então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1.”
Forma 0/0 é indeterminada e pode dar qualquer valor. Exemplo: f(x)=2x, g(x)=x em x\to0 \lim f/g=2\neq1. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Testando a alternativa (c): “Se \lim_{x\to a}f(x)=-\infty e \lim_{x\to a}g(x)=+\infty, então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=-1.”
Forma (-\infty)/(+\infty) também é indeterminada. Por exemplo, f(x)=-x^2, g(x)=x^3 em x\to+\infty dão \lim f=-\infty, \lim g=+\infty e
\frac{f(x)}{g(x)}=-\frac{x^2}{x^3}=-\frac1x\to0\neq -1.
Logo (c) é falsa.

Passo 5

Testando a alternativa (d): “Se \lim_{x\to a}f(x)=+\infty e \lim_{x\to a}g(x)=0, então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty.”
Forma \infty/0 tende a um infinito cujo sinal depende do sinal de g(x) ao se aproximar de a. Se g(x) muda de sinal ou tende a 0^-, o quociente pode dar -\infty ou não existir. Logo (d) não é sempre verdadeira.

Passo 6

Testando a alternativa (e): “Se \lim_{x\to a}f(x)=-\infty e \lim_{x\to a}g(x)=+\infty, então \lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=-\infty.”
Pela definição de limite infinito, dado qualquer M>0 existe vizinhança de a em que f(x)<-M e g(x)>M. Assim
f(x)-g(x)<-M - M = -2M,
logo f(x)-g(x)\to -\infty. Essa afirmação vale sempre, sem depender de taxas de crescimento. Portanto (e) é verdadeira.

Resposta

(e) Se \lim_{x\to a}f(x)=-\infty e \lim_{x\to a}g(x)=+\infty, então \lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=-\infty.

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