Marque a alternativa correta:
(a) Se
e
, então
(b) Se
e
, então
(c) Se
e
, então
(d) Se
e
, então
(e) Se
e
, então
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre limites que envolvem valores finitos, zero e infinitos. O conteúdo principal é a análise de formas indeterminadas e propriedades de operações (produto, quociente e diferença) quando os limites de
e
são zero ou
. Vamos testar cada alternativa e ver quais são sempre verdadeiras ou se há contraexemplos.
Passo 2
Testando a alternativa (a): “Se
e
, então
.”
Forma é indeterminada. Por exemplo, seja
e
quando
. Então
,
e
Forma
Logo (a) é falsa.
Passo 3
Testando a alternativa (b): “Se
e
, então
.”
Forma é indeterminada e pode dar qualquer valor. Exemplo:
,
em
dá
. Portanto (b) é falsa.
Forma
Passo 4
Testando a alternativa (c): “Se
e
, então
.”
Forma também é indeterminada. Por exemplo,
,
em
dão
,
e
Forma
Logo (c) é falsa.
Passo 5
Testando a alternativa (d): “Se
e
, então
.”
Forma tende a um infinito cujo sinal depende do sinal de
ao se aproximar de
. Se
muda de sinal ou tende a
, o quociente pode dar
ou não existir. Logo (d) não é sempre verdadeira.
Forma
Passo 6
Testando a alternativa (e): “Se
e
, então
.”
Pela definição de limite infinito, dado qualquer existe vizinhança de
em que
e
. Assim
Pela definição de limite infinito, dado qualquer
logo
. Essa afirmação vale sempre, sem depender de taxas de crescimento. Portanto (e) é verdadeira.
Resposta
(e) Se
e
, então
.