Encontre a série de Fourier discreta para cada uma das sequências periódicas abaixo:
x[n]=cos (0.1 pi n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier discreta da sequência periódica x[n] = cos(0.1 pi n) . Para isso, vamos usar conceitos de análise de Fourier aplicada a sinais discretos. Precisaremos entender como decompor uma sequência periódica em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da sequência x[n] = cos(0.1 pi n) . Em sinais discretos, o período N é o menor inteiro positivo para o qual x[n + N] = x[n] para todo n .
A frequência angular da nossa sequência é omega0 = 0.1pi . Para encontrar o período N , usamos a relação:
omega0 N = 2pi k
onde k é um inteiro positivo. Substituindo omega0 :
0.1pi N = 2pi k implies N = 2pi k0.1pi = 20k
O menor valor de k que satisfaz essa equação é 1, então o período N = 20 .

Passo 3

Agora, vamos expressar a série de Fourier discreta. Para uma sequência periódica de período N , a série de Fourier discreta é dada por:
x[n] = sumk=0^N-1 ck e^j2pi kNn
onde ck são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada frequência na série.

Passo 4

Como nosso x[n] = cos(0.1pi n) = cos(pi10n) , podemos reconhecer que essa função já é um termo da série de Fourier. Para encontrarmos os coeficientes ck , notamos que a frequência pi10 corresponde a k = 1 na nossa série, já que:
2pi kN = 2pi cdot 120 = pi10

Passo 5

Portanto, o único coeficiente não nulo na série de Fourier é c1 e seu conjugado cN-1 = c19 , já que o cosseno pode ser representado como a soma de dois exponenciais complexos. Assim, temos:
c1 = 12 e c19 = 12
Esses coeficientes multiplicam os exponenciais correspondentes às frequências pi10 e -pi10 , respectivamente.

Passo 6

Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier discreta, obtemos:
x[n] = 12 e^jpi10n + 12 e^-jpi10n
Essa é a representação da nossa sequência periódica em termos de série de Fourier discreta.

Resposta

A série de Fourier discreta para a sequência x[n] = cos(0.1 pi n) é:
x[n] = 12 e^jpi10n + 12 e^-jpi10n

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