Encontre a série de Fourier discreta para cada uma das sequências periódicas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier discreta da sequência periódica
. Para isso, vamos usar conceitos de análise de Fourier aplicada a sinais discretos. Precisaremos entender como decompor uma sequência periódica em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da sequência
. Em sinais discretos, o período
é o menor inteiro positivo para o qual
para todo
.
A frequência angular da nossa sequência é
. Para encontrar o período
, usamos a relação:
onde
é um inteiro positivo. Substituindo
:
O menor valor de
que satisfaz essa equação é 1, então o período
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a série de Fourier discreta. Para uma sequência periódica de período
, a série de Fourier discreta é dada por:
onde
são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada frequência na série.
Passo 4
Como nosso
, podemos reconhecer que essa função já é um termo da série de Fourier. Para encontrarmos os coeficientes
, notamos que a frequência
corresponde a
na nossa série, já que:
Passo 5
Portanto, o único coeficiente não nulo na série de Fourier é
e seu conjugado
, já que o cosseno pode ser representado como a soma de dois exponenciais complexos. Assim, temos:
Esses coeficientes multiplicam os exponenciais correspondentes às frequências
e
, respectivamente.
Passo 6
Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier discreta, obtemos:
Essa é a representação da nossa sequência periódica em termos de série de Fourier discreta.
Resposta
A série de Fourier discreta para a sequência
é: