Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
x-y=1, y=(x-4)^2+1; em torno de y=7

Passo 1

Temos a região do plano delimitada pelas curvas
y=x-1
e
y=(x-4)^2+1
que é girada em torno da reta
y=7.
O conteúdo aqui é volume de revolução, e vamos usar o método dos “discos” (ou “arruelas”), integrando em x.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção, isto é, resolvemos
x-1 = (x-4)^2 + 1
Reorganizando:
x - 1 - 1 = (x-4)^2 Longrightarrow x-2 = x^2 -8x +16 Longrightarrow x^2 -9x +18 = 0
As raízes são
x = 9pm32,
ou seja x=3 e x=6. Logo a região em x vai de 3 até 6.

Passo 3

Para cada xin[3,6], comparamos as ordenadas:
yreta = x-1, yparab = (x-4)^2+1
Verifica-se que yreta>= yparab. Como a reta de rotação é y=7 acima das duas curvas, o raio externo vale
Rext(x) = 7 - yparab = 7 - l((x-4)^2+1r) = 6 - (x-4)^2,
e o raio interno vale
Rint(x) = 7 - yreta = 7 - (x-1) = 8 - x

Passo 4

O volume é dado pelo método das arruelas:
V = pi integralx=3^6 l[ l(Rext(x)r)^2 - l(Rint(x)r)^2 r] ,dx

Resposta

V = pi integral3^6 l[ l(6 - (x-4)^2r)^2 - (8 - x)^2 r] ,dx

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