Encontre a série de Fourier discreta para cada uma das sequências periódicas abaixo:
x[n]=sen(0.1 pi n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier discreta da sequência periódica x[n] = sin(0.1 pi n) . Vamos utilizar conceitos de séries de Fourier discretas, que nos ajudam a representar sinais periódicos como somas de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier discreta (SFD) expressa um sinal periódico como uma soma de exponenciais complexas. A fórmula geral da SFD para um sinal de período N é:
x[n] = sumk=0^N-1 X[k] cdot e^j 2pi k nN
Aqui, X[k] são os coeficientes da série, j é a unidade imaginária, e k vai de 0 a N-1 .

Passo 3

No nosso caso, o sinal é x[n] = sin(0.1 pi n) . Vamos reescrever essa função usando exponenciais complexas para facilitar a aplicação da série de Fourier. Sabemos que:
sin(theta) = e^jtheta - e^-jtheta2j
Aplicando isso ao nosso sinal:
x[n] = e^j0.1pi n - e^-j0.1pi n2j

Passo 4

Agora, comparando com a fórmula geral da SFD, percebemos que os termos e^j0.1pi n e e^-j0.1pi n correspondem a certos índices k . Precisamos relacionar a frequência 0.1pi com o índice k na série.
A frequência fundamental na SFD é dada por omega0 = 2piN . Então, podemos igualar:
0.1pi = 2pi kN implies k = 0.05N
Isso significa que os coeficientes não são inteiros a menos que N seja um múltiplo de 20. Para simplificar, assumiremos que N = 20 , então k = 1 .

Passo 5

Com N = 20 e k = 1 , podemos reescrever a série de Fourier discreta para nosso sinal:
x[n] = X[1] e^j 2pi (1) n20 + X[19] e^-j 2pi (1) n202j
Notamos que X[19] é o coeficiente conjugado de X[1] devido à periodicidade.

Passo 6

Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
x[n] = e^j0.1pi n - e^-j0.1pi n2j
Podemos identificar que:
X[1] = 1 e X[19] = -1

Resposta

A série de Fourier discreta para a sequência x[n] = sin(0.1 pi n) é dada por:
x[n] = X[1] e^j 2pi (1) n20 + X[19] e^-j 2pi (1) n202j com X[1] = 1 e X[19] = -1

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