Encontre a série de Fourier discreta para cada uma das sequências periódicas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier discreta da sequência periódica
. Vamos utilizar conceitos de séries de Fourier discretas, que nos ajudam a representar sinais periódicos como somas de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier discreta (SFD) expressa um sinal periódico como uma soma de exponenciais complexas. A fórmula geral da SFD para um sinal de período
é:
Aqui,
são os coeficientes da série,
é a unidade imaginária, e
vai de 0 a
.
Passo 3
No nosso caso, o sinal é
. Vamos reescrever essa função usando exponenciais complexas para facilitar a aplicação da série de Fourier. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso sinal:
Passo 4
Agora, comparando com a fórmula geral da SFD, percebemos que os termos
e
correspondem a certos índices
. Precisamos relacionar a frequência
com o índice
na série.
A frequência fundamental na SFD é dada por
. Então, podemos igualar:
Isso significa que os coeficientes não são inteiros a menos que
seja um múltiplo de 20. Para simplificar, assumiremos que
, então
.
Passo 5
Com
e
, podemos reescrever a série de Fourier discreta para nosso sinal:
Notamos que
é o coeficiente conjugado de
devido à periodicidade.
Passo 6
Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
Podemos identificar que:
Resposta
A série de Fourier discreta para a sequência
é dada por: