Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
y=cos x, y=0, x=0, x=pi / 2; em torno de y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=1 a região em planta limitada por
,y=cos x, ,y=0, ,x=0 e ,x=pi/2. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), cortando por fatias paralelas ao eixo y.

Passo 2

Em cada posição xin[0,pi/2] a rotação gera um anel cujo raio externo é a distância de y=1 até y=0 e cujo raio interno é a distância de y=1 até y=cos x.

Passo 3

Calculando as distâncias:
rout(x)=|1-0|=1,
rin(x)=|1-cos x|=1-cos x (pois cos x<=1 neste intervalo).

Passo 4

A área da seção transversal em x é
A(x)=pil[rout(x)^2 - rin(x)^2r] =pil[1^2 - (1-cos x)^2r]

Passo 5

O volume é a integral dessa área ao longo de x de 0 a pi/2:
V = integral0^pi/2 pil[1 - (1-cos x)^2r],dx

Resposta

V = integral0^pi/2 pil[1 - (1-cos x)^2r],dx

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