(a) Mostre que a transformada de Fourier de f(x)=e^{-x^{2}} é \hat{f}(\omega)=\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\omega^{2}}{4}}
(b) Usando o resultado anterior mostre que k(x, t)=\frac{1}{2 \sqrt{2 t}} e^{-\frac{x^{2}}{16 t}} é \hat{k}(\omega, t)=e^{-4 \omega^{2} t}
(c) Calcule a transformada de Fourier de f(x)=e^{-2|x|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular transformadas de Fourier, então vamos adotar a convenção padrão
\hat g(\omega)\;=\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
No item (a) temos g(x)=e^{-x^2}; no (b) g(x)=k(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{2t}}e^{-x^2/(16t)}; e no (c) g(x)=e^{-2|x|}.

Passo 2

Para (a) usamos a fórmula do integral gaussiano com fase:
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^2}\,e^{-i\omega x}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{\omega^2}{4a}},
válida para \Re(a)>0.

Passo 3

No nosso caso a=1, então
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,e^{-i\omega x}\,dx =\sqrt{\pi}\;e^{-\frac{\omega^2}{4}}.
Multiplicando pelo fator 1/\sqrt{2\pi} da definição da transformada, obtemos
\hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\sqrt{\pi}\;e^{-\omega^2/4} =\frac{\sqrt{2}}{2}\;e^{-\omega^2/4}.

Passo 4

Para (b) calculamos
\hat k(\omega,t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{2t}}\,e^{-\frac{x^2}{16t}}\,e^{-i\omega x}\,dx.
Aqui o “ a” do integral gaussiano é a=\tfrac1{16t}.

Passo 5

Pelo resultado do Passo 2,
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{16t}}\,e^{-i\omega x}\,dx =\sqrt{16\pi t}\;e^{-4\,\omega^2\,t}.
Logo
\hat k(\omega,t) =\frac{1}{2\sqrt{2t}\,\sqrt{2\pi}}\;\sqrt{16\pi t}\;e^{-4\omega^2t} =e^{-4\omega^2t}.

Passo 6

Para (c) usamos
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2|x|}e^{-i\omega x}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\bigl(e^{-i\omega x}+e^{i\omega x}\bigr)dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx.
E sabemos que
\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\cos(\omega x)\,dx =\frac{2}{4+\omega^2}.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2|x|}e^{-i\omega x}\,dx =\frac{4}{4+\omega^2},
e finalmente, incluindo o fator 1/\sqrt{2\pi},
\hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\frac{4}{4+\omega^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \hat f(\omega)=\tfrac{\sqrt2}{2}\,e^{-\omega^2/4}.
(b) \displaystyle \hat k(\omega,t)=e^{-4\omega^2t}.
(c) \displaystyle \hat f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\frac{4}{4+\omega^2}.

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