(a) Mostre que a transformada de Fourier de
é
(b) Usando o resultado anterior mostre que
é
(c) Calcule a transformada de Fourier de
(b) Usando o resultado anterior mostre que
(c) Calcule a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede para calcular transformadas de Fourier, então vamos adotar a convenção padrão
No item (a) temos
; no (b)
; e no (c)
.
Passo 2
Para (a) usamos a fórmula do integral gaussiano com fase:
válida para
.
Passo 3
No nosso caso
, então
Multiplicando pelo fator
da definição da transformada, obtemos
Passo 4
Para (b) calculamos
Aqui o “
” do integral gaussiano é
.
Passo 5
Pelo resultado do Passo 2,
Logo
Passo 6
Para (c) usamos
E sabemos que
Portanto
e finalmente, incluindo o fator
,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)