Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
Este é um problema de equação de primeira ordem e nota‐se que os termos são homogêneos de grau 2. Logo, vamos usar a substituição
Este é um problema de equação de primeira ordem e nota‐se que os termos são homogêneos de grau 2. Logo, vamos usar a substituição
Passo 2
Reescrevemos a equação em forma explícita para
. Dividindo tudo por
e isolando
, obtemos
Como o lado direito depende apenas de
, confirmamos que é homogênea.
Passo 3
Fazendo
implica
Substituindo em
e usando
,
Assim,
Passo 4
Separamos as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Escrevemos
Determina‐se
,
,
, de modo que
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Voltando a
, nota‐se
e
. Logo a solução implícita fica
Passo 6
Aplicamos
. No ponto
temos
, logo
. A solução geral que satisfaz a condição inicial é
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é