Resolva os problemas de valor inicial.
y^{2} d x+\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=1.
Este é um problema de equação de primeira ordem e nota‐se que os termos são homogêneos de grau 2. Logo, vamos usar a substituição
y = vx,\quad v = \frac{y}{x}.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma explícita para \tfrac{dy}{dx}. Dividindo tudo por dx e isolando \tfrac{dy}{dx}, obtemos
y^{2} + \bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}.
Como o lado direito depende apenas de y/x, confirmamos que é homogênea.

Passo 3

Fazendo y=vx implica
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}} e usando y=vx,
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{(vx)^{2}}{x^{2} + x(vx) + (vx)^{2}} = -\frac{v^{2}x^{2}}{x^{2}(1+v+v^{2})} = -\frac{v^{2}}{1+v+v^{2}}.
Assim,
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v^{2}}{1+v+v^{2}} - v = -\frac{v(1+v)^{2}}{1+v+v^{2}}.

Passo 4

Separamos as variáveis:
\frac{1+v+v^{2}}{v(1+v)^{2}}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Escrevemos
\frac{1+v+v^{2}}{v(1+v)^{2}} = \frac{A}{v} + \frac{B}{1+v} + \frac{C}{(1+v)^{2}}.
Determina‐se A=1, B=0, C=-1, de modo que
\frac{1+v+v^{2}}{v(1+v)^{2}} = \frac{1}{v} - \frac{1}{(1+v)^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{v} - \frac{1}{(1+v)^{2}}\Bigr)dv = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|v| + \frac{1}{1+v} = -\ln|x| + C.
Voltando a v=y/x, nota‐se v\,x = y e \tfrac{1}{1+v} = \tfrac{x}{x+y}. Logo a solução implícita fica
\ln|y| + \frac{x}{x+y} = C.

Passo 6

Aplicamos y(0)=1. No ponto (0,1) temos \ln(1)+0=0, logo C=0. A solução geral que satisfaz a condição inicial é
\ln|y| + \frac{x}{x+y} = 0.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
\boxed{\ln|y| + \frac{x}{x+y} = 0, \quad y(0)=1.}

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