Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=ccx, & -pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a série de Fourier da função definida por:
f(x) = x, & -pi < x < 0 0, & 0 <= x < pi
Isso faz parte do conteúdo de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] :
Aqui, é a média da função no intervalo, e e são os coeficientes que multiplicam os termos de cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx , que é dado por:
a0 = 1pi ( integral-pi^0 x , dx + integral0^pi 0 , dx )
Como a função é semelhante a uma função ímpar em parte e zero na outra, vamos dividir a integral:
a0 = 1pi integral-pi^0 x , dx
A segunda integral é zero, então restamos:

Passo 4

Calculando a integral:
integral-pi^0 x , dx = [ x^22 ]-pi^0 = 0^22 - (-pi)^22 = -pi^22
Então:
a0 = 1pi ( -pi^22 ) = -pi2

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx , que são dados por:
an = 1pi ( integral-pi^0 x cos(nx) , dx + integral0^pi 0 cdot cos(nx) , dx ) = 1pi integral-pi^0 x cos(nx) , dx
Substituindo a função:

Passo 6

Vamos resolver a integral u = x Rightarrow du = dx dv = cos(nx) , dx Rightarrow v = sin(nx)n usando integração por partes. Seja:
integral x cos(nx) , dx = x cdot sin(nx)n - integral sin(nx)n , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2 + C
Aplicando a fórmula de integração por partes , temos:

Passo 7

Aplicando os limites de -π a 0:
integral-pi^0 x cos(nx) , dx = [ x sin(nx)n + cos(nx)n^2 ]-pi^0
Calculando em 0:
0 cdot sin(0)n + cos(0)n^2 = 1n^2
Calculando em -π:
(-pi) sin(-npi)n + cos(-npi)n^2 = -pi cdot 0n + (-1)^nn^2 = (-1)^nn^2
Então:
integral-pi^0 x cos(nx) , dx = 1n^2 - (-1)^nn^2 = 1 - (-1)^nn^2
Portanto:
an = 1pi cdot 1 - (-1)^nn^2 = 1 - (-1)^npi n^2

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx :
bn = 1pi ( integral-pi^0 x sin(nx) , dx + integral0^pi 0 cdot sin(nx) , dx ) = 1pi integral-pi^0 x sin(nx) , dx
Substituindo a função:

Passo 9

Vamos resolver a integral u = x Rightarrow du = dx dv = sin(nx) , dx Rightarrow v = -cos(nx)n também por integração por partes. Seja:
integral x sin(nx) , dx = -x cos(nx)n + 1n integral cos(nx) , dx = -x cos(nx)n + sin(nx)n^2 + C
Aplicando a fórmula:

Passo 10

Aplicando os limites de -π a 0:
integral-pi^0 x sin(nx) , dx = [ -x cos(nx)n + sin(nx)n^2 ]-pi^0
Calculando em 0:
-0 cdot cos(0)n + sin(0)n^2 = 0
Calculando em -π:
-(-pi) cos(-npi)n + sin(-npi)n^2 = pi (-1)^nn + 0 = pi (-1)^nn
Então:
integral-pi^0 x sin(nx) , dx = 0 - pi (-1)^nn = -pi (-1)^nn
Portanto:
bn = 1pi cdot ( -pi (-1)^nn ) = -(-1)^nn = (-1)^n+1n

Passo 11

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] :
f(x) = -pi4 + sumn=1^infty [ 1 - (-1)^npi n^2 cos(nx) + (-1)^n+1n sin(nx) ]
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = -pi4 + sumn=1^infty [ 1 - (-1)^npi n^2 cos(nx) + (-1)^n+1n sin(nx) ] é:

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