Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a série de Fourier da função definida por:
Isso faz parte do conteúdo de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função com período
:
Aqui,
é a média da função no intervalo, e
e
são os coeficientes que multiplicam os termos de cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que é dado por:
Como a função é semelhante a uma função ímpar em parte e zero na outra, vamos dividir a integral:
A segunda integral é zero, então restamos:
Passo 4
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são dados por:
Substituindo a função:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Passo 7
Aplicando os limites de -π a 0:
Calculando em 0:
Calculando em -π:
Então:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo a função:
Passo 9
Vamos resolver a integral
também por integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula:
Passo 10
Aplicando os limites de -π a 0:
Calculando em 0:
Calculando em -π:
Então:
Portanto:
Passo 11
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função
:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A série de Fourier da função
é: