Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=-x (-1<x<0), f(x)=x (0<x<1), f(x)= 1(1<x<3), p=4

Passo 1

O que o enunciado pede:\n
  • Encontrar a série de Fourier da função f(x)\) de período \(p=4\).\n - Fazer um gráfico / esboço das três primeiras somas parciais.\n Informações dadas (todas importantes):\n - A função é definida, em um período \(x\in(-1,3)\) (intervalo de comprimento \(4\)), por partes:\n \[f(x) = \begin{cases} -x, & -1 < x < 0,\\[4pt] x, & 0 < x < 1,\\[4pt] 1, & 1 < x < 3. \end{cases}\n
  • O período é p=4\]. Portanto a função é estendida periodicamente com período \(4.\n
Observação importante (só identificar dados): o enunciado não pede que eu troque a escolha do intervalo fundamental, mas eu vou escolher um intervalo centralizado para usar as fórmulas clássicas de Fourier. A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Escolha técnica (sem pular teoria): centralizo o intervalo para usar as fórmulas padrão em (-L,L). Como um período é (-1,3), faço a mudança de variável\n
t = x-1,
assim o intervalo -1<x<3 vira -2<t<2, que é simétrico em torno de 0. Defino\n
g(t) := f(t+1).
Isso facilita porque a série de Fourier usual para período 2L usa L e funções \cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big), \sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big). Aqui L=2.\n
Agora escrevo g(t) nas partes correspondentes (peguei isso pela mudança t=x-1):\n
  • Para x\in(-1,0) temos t\in(-2,-1) e f(x)=-x então g(t) = -(t+1) = -t-1 em -2<t<-1.\n
  • Para x\in(0,1) temos t\in(-1,0) e f(x)=x então g(t) = t+1 em -1<t<0.\n
  • Para x\in(1,3) temos t\in(0,2) e f(x)=1 então g(t)=1 em 0<t<2.\n
    Pontos isolados (como t=-1,0) não afetam integrais.

Passo 3

Fórmulas de Fourier (aula curta):\n
Para uma função g(t) definida em -L<t<L e periódica de período 2L, a série de Fourier é\n
g(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big( a_n \cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big) + b_n \sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big) \Big),
onde as fórmulas para os coeficientes são (cada integral é no intervalo -L a L):\n
a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} g(t)\cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big)\,dt,\qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} g(t)\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big)\,dt,\n
e
a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} g(t)\,dt.\n
Aqui L=2. A interpretação: a_0/2 é a média da função no período; a_n mede projeção na base \cos(\cdot) e b_n na base \sin(\cdot). Vou calcular essas integrais usando a decomposição por partes do domínio de g.

Passo 4

Cálculo de a_0 (passo a passo):\n
a_0 = \tfrac{1}{2}\int_{-2}^{2} g(t)\,dt.
Quebro a integral em três intervalos (peguei os valores de g do Passo 2):\n
\int_{-2}^{2} g(t)\,dt = \int_{-2}^{-1}(-t-1)\,dt + \int_{-1}^{0}(t+1)\,dt + \int_{0}^{2}1\,dt.
Calculo cada uma:\n
\int_{-2}^{-1}(-t-1)\,dt = \Big[-\tfrac{t^2}{2}-t\Big]_{-2}^{-1} = \tfrac{1}{2},
\int_{-1}^{0}(t+1)\,dt = \Big[\tfrac{t^2}{2}+t\Big]_{-1}^{0} = \tfrac{1}{2},
\int_{0}^{2}1\,dt = 2.
Somando: \int_{-2}^{2} g(t)\,dt = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+2 = 3. Portanto\n
a_0 = \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{3}{2}.
Logo o termo constante da série é a_0/2 = \tfrac{3}{4}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes a_n.\n
Defina \alpha := \tfrac{n\pi}{2} (então \cos(\tfrac{n\pi t}{2})=\cos(\alpha t)). Usando a divisão por intervalos:\n
a_n = \tfrac{1}{2}\Big(\int_{-2}^{-1}(-t-1)\cos(\alpha t)\,dt + \int_{-1}^{0}(t+1)\cos(\alpha t)\,dt + \int_{0}^{2}1\cdot\cos(\alpha t)\,dt\Big).
Faço as integrais com antiderivada da forma \int (t+1)\cos(\alpha t)\,dt. Uma primitiva é\n
\int (t+1)\cos(\alpha t)\,dt = \frac{(t+1)\sin(\alpha t)}{\alpha} + \frac{\cos(\alpha t)}{\alpha^2} + C.
Aplicando os limites e simplificando (inseri as contas detalhadas nos cálculos), obtém-se, após simplificação trigonométrica (usar \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 e \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha), a expressão intermediária\n
\text{(integral total)} = \frac{1-2\cos\alpha+\cos 2\alpha}{\alpha^2} + \frac{2\sin 2\alpha}{\alpha}.
Dividindo por 2 (lembrando a_n=\tfrac{1}{2} vezes a integral), e substituindo \alpha=\tfrac{n\pi}{2}, obtemos a forma final, que por periodicidade das funções trigonométricas simplifica muito: para n ímpar temos a_n=0; para n par analisamos n=2k:\n
  • se n\equiv 0\pmod 4 então a_n=0;\n
  • se n\equiv 2\pmod 4 então a_n=\dfrac{8}{n^2\pi^2}.\n
    Portanto, resumindo:\n
a_n = \begin{cases} \dfrac{8}{n^2\pi^2}, & \text{se } n\equiv 2\pmod 4,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 6

Cálculo dos coeficientes b_n.\n
Usando a mesma notação \alpha=\tfrac{n\pi}{2},\n
b_n = \tfrac{1}{2}\int_{-2}^{2} g(t)\sin(\alpha t)\,dt,
quebrando em três integrais e usando integração por partes com primitiva\n
\int (t+1)\sin(\alpha t)\,dt = -\frac{(t+1)\cos(\alpha t)}{\alpha} + \frac{\sin(\alpha t)}{\alpha^2} + C,
após avaliar limites e simplificar com identidades trigonométricas chegamos a uma expressão simples:\n
b_n = \frac{\;2\sin\alpha-\sin 2\alpha\;}{2\alpha^2} = \frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{\alpha^2}.
Agora colocamos \alpha=\tfrac{n\pi}{2}.\n
  • Para n par (ou seja \alpha=k\pi) temos \sin\alpha=0 então b_n=0.\n
  • Para n ímpar, \cos\alpha=0 e \sin\alpha = \pm 1, então\n
b_n = \frac{\sin\alpha}{\alpha^2} = \frac{4\,\sin\alpha}{n^2\pi^2}.
Escrevendo o sinal de forma compacta (para n ímpar, \sin\alpha = (-1)^{\frac{n-1}{2}}), obtemos\n
b_n = \begin{cases} \dfrac{4(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^2\pi^2}, & \text{se } n \text{ ímpar},\\[6pt] 0, & \text{se } n \text{ par}. \end{cases}í]

Passo 7

Juntando tudo: série de Fourier de g(t)=f(t+1) (no intervalo -2<t<2) e voltando à variável original x com t=x-1.\n
A série de Fourier para f(x) (periódica de período 4) é\n
\boxed{\,f(x)\sim \frac{3}{4} + \sum_{n=1}^{\infty}\Big( a_n\cos\!\big(\tfrac{n\pi (x-1)}{2}\big) + b_n\sin\!\big(\tfrac{n\pi (x-1)}{2}\big)\Big)\,},\n
onde os coeficientes são os que encontramos:\n
a_n=\begin{cases} \dfrac{8}{n^2\pi^2}, & n\equiv 2\pmod 4,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \qquad b_n=\begin{cases} \dfrac{4(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^2\pi^2}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}. \end{cases}áí
Isto é a resposta analítica completa da série de Fourier.]

Passo 8

As três primeiras somas parciais (defino S_N(x) como a soma dos termos de n=1 até n=N mais o termo constante a_0/2). Vou apresentar S_1,S_2,S_3 explicitamente (substituindo os a_n,b_n calculados):\n
  • Para n=1: a_1=0, b_1=\dfrac{4}{\pi^2}. Logo\n
S_1(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big).\n
  • Para n=2: a_2=\dfrac{8}{2^2\pi^2}=\dfrac{2}{\pi^2}, b_2=0. Assim\n
S_2(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big) + \frac{2}{\pi^2}\cos\!\big(\pi (x-1)\big).\n
  • Para n=3: a_3=0, b_3=\dfrac{4(-1)^{1}}{9\pi^2}=-\dfrac{4}{9\pi^2}. Logo\n
S_3(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big) + \frac{2}{\pi^2}\cos\!\big(\pi (x-1)\big) - \frac{4}{9\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{3\pi (x-1)}{2}\big).

Passo 9

Esboço / interpretação das somas parciais (dicas para desenhar à mão e o que esperar):\n
  • Todas as somas têm período 4 e estão centradas em x=1 por causa do deslocamento x-1.\n
  • S_1 é simplesmente uma senoide de período 4 deslocada verticalmente por 3/4. Ela é suave e aproxima grosseiramente a forma média de f.\n
  • S_2 adiciona uma componente cosseno de período 2 (frequência duas vezes maior), o que cria uma ondulação que começa a aproximar melhor o degrau para f=1 no intervalo (1,3) e as partes lineares nos intervalos (-1,0) e (0,1).\n
  • S_3 acrescenta a harmônica de ordem 3 (seno com frequência 3\pi/2), afinando ainda mais a aproximação; as descontinuidades de f (por exemplo nos pontos de união entre trechos) já apresentam overshoot típico (fenômeno de Gibbs) nas somas parciais baixas.\n
    Como instrução prática para esboçar:\n
  • Desenhe o intervalo fundamental -1 a 3 (com x=1 no centro). Marque os trechos onde f(x)=-x, f(x)=x e f(x)=1.\n
  • Para S_1: desenhe y=\tfrac{3}{4} + \tfrac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big) (amplitude \tfrac{4}{\pi^2}\approx 0,405). Ela cruza o eixo médio em x onde o seno zera (a cada unidade de 2 no x por causa do período 4).\n
  • Para S_2: some a senoide e uma cossenoide (amplitude de cosseno \tfrac{2}{\pi^2}\approx 0,2027); o gráfico já começa a parecer com o formato com um platô próximo a 1 em (1,3) e linhas inclinadas em (-1,0) e (0,1).\n
  • Para S_3: inclua a terceira frequência (amplitude \tfrac{4}{9\pi^2}\approx 0,045); as oscilações locais aparecem perto das descontinuidades.\n
    Observação final: à medida que somamos mais termos ( N\to\infty) a série converge para f(x) nos pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (propriedade padrão da série de Fourier).

Resposta

f(x)\sim \frac{3}{4} + \sum_{n=1}^{\infty}\Big( a_n\cos\!\big(\tfrac{n\pi (x-1)}{2}\big) + b_n\sin\!\big(\tfrac{n\pi (x-1)}{2}\big)\Big),
onde
a_n=\begin{cases} \dfrac{8}{n^2\pi^2}, & n\equiv 2\pmod 4,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \qquad b_n=\begin{cases} \dfrac{4(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^2\pi^2}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}. \end{cases}áí
S_1(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big),
S_2(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big) + \frac{2}{\pi^2}\cos\!\big(\pi (x-1)\big),
S_3(x)=\frac{3}{4} + \frac{4}{\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{\pi (x-1)}{2}\big) + \frac{2}{\pi^2}\cos\!\big(\pi (x-1)\big) - \frac{4}{9\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{3\pi (x-1)}{2}\big).]

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