Sejam
e
mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre coeficientes de Fourier, que são usados pra representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. A gente tem duas funções base:
para
e para
. A ideia é mostrar como calcular os coeficientes
e
usando produtos internos (ou integrais) dessas funções com uma função
qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os coeficientes de Fourier. Eles servem pra decompor uma função
em uma série de senos e cossenos:
Aqui,
e
são os coeficientes que a gente quer encontrar.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, a gente usa o conceito de produto interno. No caso das funções no intervalo
, o produto interno é definido como:
Esse produto interno nos ajuda a “projetar” a função
nas funções base
e
.
Passo 4
Vamos começar encontrando o coeficiente
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da série de Fourier por
e integramos:
Por causa da ortogonalidade das funções
e
, somente o termo
sobrevive na integral, ou seja:
Passo 5
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados pela integral de
consigo mesma:
Isso mostra como calcular
usando o produto interno entre
e
, normalizado pelo produto interno de
consigo mesma.
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para o coeficiente
. Multiplicamos a série de Fourier por
e integramos:
De novo, pela ortogonalidade, somente o termo
sobrevive:
Passo 7
Isolando
, temos:
Então, assim como fizemos com
, encontramos
usando o produto interno entre
e
, normalizado pelo produto interno de
consigo mesma.
Resposta
Portanto, mostramos que os coeficientes de Fourier são dados por:
e