Sejam psi_n(x) = cos(n pi x / L), n = 0, 1, 2, ... e phi_n(x) = sen(n * pi * x / L), n = 1, 2, ... mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por an = <f, psi_n> / <psi_n, psi_n>, n=0,1,2,... e b_n = <f, phi_n> / <phi_n, phi_n>, n = 1, 2, ....

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre coeficientes de Fourier, que são usados pra representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. A gente tem duas funções base: para e para . A ideia é mostrar como calcular os coeficientes e usando produtos internos (ou integrais) dessas funções com uma função qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os coeficientes de Fourier. Eles servem pra decompor uma função f(x) em uma série de senos e cossenos:
Aqui, e são os coeficientes que a gente quer encontrar.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, a gente usa o conceito de produto interno. No caso das funções no intervalo [0, L], o produto interno é definido como:
Esse produto interno nos ajuda a “projetar” a função f(x) nas funções base e .

Passo 4

Vamos começar encontrando o coeficiente . Para isso, multiplicamos ambos os lados da série de Fourier por e integramos:
Por causa da ortogonalidade das funções e , somente o termo sobrevive na integral, ou seja:

Passo 5

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela integral de consigo mesma:
Isso mostra como calcular usando o produto interno entre f e , normalizado pelo produto interno de consigo mesma.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para o coeficiente . Multiplicamos a série de Fourier por e integramos:
De novo, pela ortogonalidade, somente o termo sobrevive:

Passo 7

Isolando , temos:
Então, assim como fizemos com , encontramos usando o produto interno entre f e , normalizado pelo produto interno de consigo mesma.

Resposta

Portanto, mostramos que os coeficientes de Fourier são dados por:
e

Exercícios relacionados