Encontre a série de Fourier de f: R R, sabendo que ela é periódica de período 4 e f(x)=rr-x, & -2 <= x<0 x, & 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função
O conteúdo é série de Fourier em cossenos e senos, e vamos precisar usar as fórmulas dos coeficientes
onde (\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}].

Passo 2

Observamos que f é função par, pois f(-x)=f(x) para todo x. Logo todos os coeficientes bn anulam-se:
bn=12integral-2^2f(x)sinl(nomega0 xr),dx=0

Passo 3

Calculamos a0. Como f é par,
a0=12integral-2^2f(x),dx =integral0^2x,dx =l[tfracx^22r]0^2 =2
O termo constante na série é então tfraca02=1.

Passo 4

Para n>=1 usamos a paridade para reduzir
an =12integral-2^2f(x)cosl(nomega0 xr),dx =integral0^2xcosl(tfracnpi2xr),dx
Integramos por partes com u=x, dv=cos(tfracnpi2x),dx. Obtém-se
an =4n^2pi^2l[(-1)^n-1r] = 0, & n par, -dfrac8n^2pi^2, & n ímpar í

Passo 5

Substituindo na forma geral
f(x) =a02+sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 x)+bnsin(nomega0 x)r]
e lembrando que só surgem termos de n ímpar, escrevemos com n=2k-1:
f(x) =1-8pi^2sumk=1^inftycosl((2k-1)tfracpi2xr)(2k-1)^2

Resposta

boxed f(x) =1-8pi^2sumk=1^inftycosl((2k-1)tfracpi2xr)(2k-1)^2

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