Encontre a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=llx+1, & -1 <= x<0 1-x, & 0 <= x<1 ; f(x+2)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
com . Para resolver vamos: 1) identificar a forma geral da série, 2) notar que é par, 3) calcular os coeficientes , e , 4) montar a série.

Passo 2

Como o período é 2, tomamos L=1 e a forma geral da série é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r),
com
a0=integral-1^1f(x),dx, an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx
Observando que f é par ( f(-x)=f(x)), segue que todos bn=0 (produto de par por ímpar dá integrando ímpar).

Passo 3

Cálculo de a0. Usando paridade,
a0=2integral0^1f(x),dx =2integral0^1(1-x),dx =2l[x-tfracx^22r]0^1 =2l(1-tfrac12r) =1

Passo 4

Cálculo de an. De novo por paridade,
an=2integral0^1(1-x)cos(npi x),dx
Integramos por partes com u=1-x, dv=cos(npi x),dx. Obtém-se
integral0^1(1-x)cos(npi x),dx =1n^2pi^2l(1-(-1)^nr)
Logo
an=2cdot1-(-1)^nn^2pi^2 =2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2,
que anula para n par e, para n ímpar, vale
an=4n^2pi^2

Passo 5

Juntando os resultados, como só aparecem termos de cosseno ímpar, a série de Fourier é

Resposta

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