Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
d yd x=2 x-43 y^2-4

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que é assim:
dydx = 2x - 43y^2 - 4
O que isso significa é que a derivada de y em relação a x é igual a essa fração. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para y em função de x que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de modo que todas as expressões com y fiquem de um lado e as com x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x . Para fazer isso, multiplicamos ambos os lados da equação por (3y^2 - 4)dx :
(3y^2 - 4) dy = (2x - 4) dx
Agora, temos tudo com y de um lado e tudo com x do outro. Isso facilita a integração de cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integramos em relação a suas respectivas variáveis.
Para o lado esquerdo, que está em termos de y :
integral (3y^2 - 4) , dy
E para o lado direito, que está em termos de x :
integral (2x - 4) , dx

Passo 4

Vamos resolver as integrações uma por uma.
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral (3y^2 - 4) , dy = 3 integral y^2 , dy - 4 integral dy = 3 ( y^33 ) - 4y = y^3 - 4y
Agora, a integral do lado direito:
integral (2x - 4) , dx = 2 integral x , dx - 4 integral dx = 2 ( x^22 ) - 4x = x^2 - 4x

Passo 5

Depois de integrar, a gente iguala as duas expressões e adiciona uma constante de integração C :
y^3 - 4y = x^2 - 4x + C
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Você pode deixar assim ou tentar isolar y , mas geralmente, para equações desse tipo, a forma implícita já é suficiente.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
y^3 - 4y = x^2 - 4x + C
Onde C é a constante de integração.

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