Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que é assim:
O que isso significa é que a derivada de
em relação a
é igual a essa fração. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para
em função de
que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de modo que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para fazer isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora, temos tudo com
de um lado e tudo com
do outro. Isso facilita a integração de cada lado separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integramos em relação a suas respectivas variáveis.
Para o lado esquerdo, que está em termos de
:
E para o lado direito, que está em termos de
:
Passo 4
Vamos resolver as integrações uma por uma.
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Passo 5
Depois de integrar, a gente iguala as duas expressões e adiciona uma constante de integração
:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Você pode deixar assim ou tentar isolar
, mas geralmente, para equações desse tipo, a forma implícita já é suficiente.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.