Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
somente no domínio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
no domínio
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, que relaciona uma função desconhecida
e suas derivadas. Para verificar se
é solução, precisamos substituir essa função na equação e ver se a igualdade se mantém verdadeira para
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Portanto, o lado esquerdo simplifica para 1.
Passo 5
Agora, simplificamos o lado direito da equação:
Passo 6
Comparamos os dois lados da equação:
Vamos resolver essa igualdade para verificar se é verdadeira:
Isso significa que a igualdade só é verdadeira quando
.
Passo 7
Como a igualdade
só é verdadeira para
, e não para todo
, concluímos que a função
não satisfaz a equação diferencial dada para todos os
.
Resposta
A função
não é solução da equação diferencial
no domínio
, já que a igualdade só se mantém para
.