Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
2 y d yd t=y^2+t-1, y(t)=raizt( somente no domínio t>0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função y(t) = raizt é uma solução da equação diferencial 2 y dydt = y^2 + t - 1 no domínio t > 0 .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, que relaciona uma função desconhecida y(t) e suas derivadas. Para verificar se y(t) = raizt é solução, precisamos substituir essa função na equação e ver se a igualdade se mantém verdadeira para t > 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y(t) . Sabemos que:
y(t) = raizt = t^1/2
A derivada de y(t) em relação a t é:
dydt = ddt ( t^1/2 ) = 12 t^-1/2 = 12 raizt

Passo 3

Agora, vamos substituir y(t) e dydt na equação diferencial:
2 y dydt = y^2 + t - 1
Substituindo:
2 cdot raizt cdot ( 12 raizt ) = (raizt)^2 + t - 1

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
2 cdot raizt cdot ( 12 raizt ) = 2 cdot raizt2 raizt = 2 raizt2 raizt = 1
Portanto, o lado esquerdo simplifica para 1.

Passo 5

Agora, simplificamos o lado direito da equação:
(raizt)^2 + t - 1 = t + t - 1 = 2t - 1

Passo 6

Comparamos os dois lados da equação:
1 = 2t - 1
Vamos resolver essa igualdade para verificar se é verdadeira:
2t - 1 = 1
2t = 2
t = 1
Isso significa que a igualdade só é verdadeira quando t = 1 .

Passo 7

Como a igualdade 1 = 2t - 1 só é verdadeira para t = 1 , e não para todo t > 0 , concluímos que a função y(t) = raizt não satisfaz a equação diferencial dada para todos os t > 0 .

Resposta

A função y(t) = raizt não é solução da equação diferencial 2 y dydt = y^2 + t - 1 no domínio t > 0 , já que a igualdade só se mantém para t = 1 .

Exercícios relacionados