Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
y^prime=y^2-4 y x+6 x^2x^2, y(x)=5 x (somente no domínio x>0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A gente precisa verificar se a função dada, y(x) = 5x , realmente satisfaz a equação diferencial fornecida:
y' = y^2 - 4yx + 6x^2x^2
Para isso, vamos precisar calcular a derivada de y(x) e substituir tudo na equação para ver se ela é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(x) = 5x . A derivada de uma função y = kx onde k é constante, é simplesmente y' = k . Então:
y' = 5

Passo 3

Agora, vamos substituir y e y' na equação diferencial original:
5 = (5x)^2 - 4(5x)x + 6x^2x^2
Vamos calcular o numerador passo a passo.

Passo 4

Calculando cada termo do numerador:
  1. (5x)^2 = 25x^2
  2. -4(5x)x = -20x^2
  3. 6x^2 = 6x^2
Agora, somando esses termos:
25x^2 - 20x^2 + 6x^2 = 11x^2

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
5 = 11x^2x^2
Simplificando a fração:
5 = 11

Resposta

Como 5 não é igual a 11 , a função y(x) = 5x não é uma solução da equação diferencial dada no domínio x > 0 .

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