Faça o que se pede:
b) Utilizar a representação encontrada no item anterior, para encontrar uma representação em série de x^3(1+x^4)^2.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar uma representação em série para a função x^3(1+x^4)^2. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, e vamos precisar usar a série geométrica e o binômio de Newton para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da representação em série da função básica 11 + x^4. Sabemos que a série geométrica para 11 - r é sumn=0^infty r^n, válida para |r| < 1. Se a gente substituir r por -x^4, temos:
11 + x^4 = 11 - (-x^4) = sumn=0^infty (-x^4)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^4n

Passo 3

Agora, queremos a representação para 1(1 + x^4)^2. Para isso, podemos usar a expansão binomial para potências negativas. A fórmula geral é:
1(1 + u)^k = sumn=0^infty binomn + k -1n (-1)^n u^n
No nosso caso, u = x^4 e k = 2, então:
1(1 + x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) (-1)^n x^4n

Passo 4

Finalmente, precisamos multiplicar essa série por x^3 para obter a representação da função que queremos:
x^3(1 + x^4)^2 = x^3 cdot sumn=0^infty (n + 1) (-1)^n x^4n = sumn=0^infty (n + 1) (-1)^n x^4n + 3

Resposta

A representação em série de x^3(1+x^4)^2 é:
x^3(1 + x^4)^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n + 1) x^4n + 3

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