Encontre a série de Maclaurin de f(x)=cos x. Dica: derive a série de Maclaurin da função sin x.

Passo 1

O problema pede a série de Maclaurin de cos x. A estratégia é pegar a série de Maclaurin de sin x, que a gente já conhece, e derivar termo a termo, já que ddxsin x=cos x. Como a série de sin x converge para todo x, essa derivação é válida em todo R.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin x é
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Derivando essa série termo a termo, obtemos
ddxsin x = sumn=0^infty (-1)^n ddxgl(x^2n+1(2n+1)!gr)

Passo 4

Cada termo se simplifica assim:
ddxl(tfracx^2n+1(2n+1)!r) = (2n+1),x^2n(2n+1)! = x^2n(2n)!
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ddxsin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

Passo 5

Como tfracddxsin x=cos x, concluímos que
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

Resposta

cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

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