Encontre a série de Taylor de f(x) centrada em a determine o raio de convergência associado.
f(x)=e^2 x, a=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^2x em torno de a=2 e o raio de convergência. Vamos usar a definição
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(2)n!,(x-2)^n
e também o fato de que as derivadas de e^2x seguem um padrão simples.

Passo 2

Calculemos a n-ésima derivada de f. Como
f(x)=e^2x,
temos
f'(x)=2e^2x, f''(x)=2^2e^2x, dots, f^(n)(x)=2^n e^2x
Logo, em x=2,
f^(n)(2)=2^n e^4

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor, obtemos
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(2)n!(x-2)^n =sumn=0^infty2^n e^4n!(x-2)^n =e^4sumn=0^infty2^nn!(x-2)^n

Passo 4

Para o raio de convergência, aplique o teste da razão ao termo geral
an=(2^n e^4/n!),(x-2)^n
Temos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty2^n+1e^4/(n+1)!2^n e^4/n!,l|x-2r| =limntoinfty2n+1,l|x-2r| =0
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo x.

Resposta

e^2x =e^4sumn=0^infty2^nn!(x-2)^n,
com raio de convergência R=infty.

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