Encontre a série de Taylor de
centrada em a determine o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
e o raio de convergência. Vamos usar a definição
e também o fato de que as derivadas de
seguem um padrão simples.
Passo 2
Calculemos a
-ésima derivada de
. Como
temos
Logo, em
,
Passo 3
Substituindo na fórmula de Taylor, obtemos
Passo 4
Para o raio de convergência, aplique o teste da razão ao termo geral
Temos
Como esse limite é
0<1 para todo
x , a série converge para todo
x .
Resposta
com raio de convergência
R=infty .