Use a transformada de Laplace e o procedimento delineado no Exemplo 10 para resolver o problema de valor de contorno dado.
y^prime prime+8 y^prime+20 y=0, y(0)=0, y^prime(pi)=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a equação
y'' + 8y' + 20y = 0
com as “bordas”
y(0)=0, y'(pi)=0
usando transformada de Laplace (essa técnica que transforma derivadas em álgebra). Vamos lembrar que, pra usar Laplace, precisamos das condições iniciais em t=0; aqui só temos y(0)=0, então vai sobrar uma constante “secreta” y'(0) que a gente vai descobrir aplicando y'(pi)=0 depois.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=s,Y(s)-y(0),
a equação vira
l[s^2Y(s)-scdot0 - y'(0)r] ;+;8l[sY(s)-0r];+;20,Y(s);=;0
Como y(0)=0, simplifica pra
(s^2 + 8s + 20),Y(s) ;=; y'(0) Longrightarrow Y(s) ;=;y'(0)s^2 + 8s + 20
Note que s^2+8s+20=(s+4)^2+4^2.

Passo 3

Agora a gente faz a anti-transformada. Sabendo que
Le^-4tsin(4t) =4(s+4)^2+4^2,
temos
1(s+4)^2+4^2 =14,4(s+4)^2+4^2 ;xrightarrow;L^-1;; 14,e^-4tsin(4t)
Logo
y(t) =;y'(0);1(s+4)^2+4^2 longrightarrow y(t)=y'(0)4;e^-4t,sin(4t)

Passo 4

Falta achar y'(0) usando y'(pi)=0. Primeiro derivamos
y(t)=C,e^-4tsin(4t), C=y'(0)4,
então
y'(t) =Cl[-4e^-4tsin(4t)+4e^-4tcos(4t)r] =4C,e^-4tl(cos(4t)-sin(4t)r)
Em t=pi:
sin(4pi)=0,;cos(4pi)=1, logo
y'(pi)=4C,e^-4pi,(1-0)=4C,e^-4pi
Para isso ser zero, tem que ser C=0. Assim y'(0)=4C=0.

Resposta

A única solução que satisfaz as duas condições é a trivial
boxedy(t)=0

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