Exercício 8. Consideremos as funções
e
.
(a) Determine seu domínio.
(b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Determine os pontos críticos e estude suas naturezas.
(d) Encontre quais intervalos a função tem concavidade para baixo e quais intervalos a concavidade é para cima, apontando os pontos de inflexão.
(e) Verifique se existem, determinando-as, assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
(f) Com as informações obtidas nos itens anteriores esboce o gráfico da função escolhida.
(a) Determine seu domínio.
(b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Determine os pontos críticos e estude suas naturezas.
(d) Encontre quais intervalos a função tem concavidade para baixo e quais intervalos a concavidade é para cima, apontando os pontos de inflexão.
(e) Verifique se existem, determinando-as, assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
(f) Com as informações obtidas nos itens anteriores esboce o gráfico da função escolhida.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções
e
e pede:
- (a) domínio,
- (b) intervalos de crescimento/decrescimento,
- (c) pontos críticos e naturezas,
- (d) concavidade e pontos de inflexão,
- (e) assíntotas horizontais, verticais e oblíquas,
- (f) esboço do gráfico de uma função escolhida.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (primeira para monotonia e extrema, segunda para concavidade) e limites para assíntotas.
Passo 2
(a) Domínios
- Para
precisamos de , pois exige . - Para
o denominador não pode ser zero, isto é, .
Passo 3
(b) Crescimento e decrescimento
-
Para
, O sinal demuda em . - Se
, então e (decrescente). - Se
, então e (crescente).
- Se
-
Para
, Comosempre, o sinal de é o de . - Se
, então , logo (crescente) em e em . - Se
, então , logo (decrescente) em e em .
- Se
Passo 4
(c) Pontos críticos e naturezas
- Em
, o único ponto crítico interno é . Pela troca de sinal de de negativo para positivo, tem mínimo local em . - Em
, só em (que está no domínio). Como é positiva à esquerda de e negativa à direita, tem máximo local em .
Passo 5
(d) Concavidade e pontos de inflexão
-
Para
, Em, sempre, logo é sempre côncava para cima e não há ponto de inflexão. -
Para
, - Se
, então e : concavidade para cima em e . - Se
, então e : concavidade para baixo em e .
Não há pontos de inflexão no domínio, pois os únicos candidatosnão pertencem ao domínio.
- Se
Passo 6
(e) Assíntotas
-
Para
: -
: . -
: .
Não há assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
-
-
Para
: - Verticais em
, pois o denominador zera. - Horizontais:
logo é assíntota horizontal. - Não há oblíquas, pois o grau do numerador e do denominador são iguais (já temos a horizontal).
- Verticais em
Passo 7
(f) Esboço do gráfico de
- Em
: cresce de (quando ) até (quando ), concava para cima. - Entre
e : desce de (em ) até , concava para baixo. - Entre
e : desce de (em ) até (em ), concava para baixo, com máximo local em . - Em
: desce de (em ) até (quando ), concava para cima.
As assíntotas verticais sãoe , e a horizontal é .
Resposta
O gráfico de
tem três ramos:
- Ramo 1 em
, crescente e côncavo para cima, ligando (em ) a (em ). - Ramo 2 em
, decrescente e côncavo para baixo, vindo de (em ) ao máximo . - Ramo 3 em
, decrescente e côncavo para baixo, de a (em ). - Ramo 4 em
, decrescente e côncavo para cima, de (em ) a (em ).
Assíntotas verticais:
,
.
Assíntota horizontal: .
Máximo local em .
Assíntota horizontal:
Máximo local em