Exercício 8. Consideremos as funções f(x)=x ln (x) e g(x)=2 x^2x^2-1.
(a) Determine seu domínio.
(b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Determine os pontos críticos e estude suas naturezas.
(d) Encontre quais intervalos a função tem concavidade para baixo e quais intervalos a concavidade é para cima, apontando os pontos de inflexão.
(e) Verifique se existem, determinando-as, assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
(f) Com as informações obtidas nos itens anteriores esboce o gráfico da função escolhida.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções
f(x)=xln(x)
e
g(x)=2x^2x^2-1
e pede:
  • (a) domínio,
  • (b) intervalos de crescimento/decrescimento,
  • (c) pontos críticos e naturezas,
  • (d) concavidade e pontos de inflexão,
  • (e) assíntotas horizontais, verticais e oblíquas,
  • (f) esboço do gráfico de uma função escolhida.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (primeira para monotonia e extrema, segunda para concavidade) e limites para assíntotas.

Passo 2

(a) Domínios
  • Para f(x)=xln(x) precisamos de x>0, pois ln(x) exige x>0. Dom(f)=(0,infty)
  • Para g(x)=2x^2x^2-1 o denominador não pode ser zero, isto é, x^2-1neq0Rightarrow xneqpm1. Dom(g)=(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty)

Passo 3

(b) Crescimento e decrescimento
  1. Para f,
    f'(x)=ln(x)+1
    O sinal de f'(x) muda em ln(x)+1=0Rightarrow x=e^-1.
    • Se 0<x<e^-1, então ln(x)<-1 e f'(x)<0 (decrescente).
    • Se x>e^-1, então ln(x)>-1 e f'(x)>0 (crescente).
  2. Para g,
    g'(x) =ddxl(2x^2x^2-1r) =-4x(x^2-1)^2
    Como (x^2-1)^2>0 sempre, o sinal de g'(x) é o de -x.
    • Se x<0, então -x>0, logo g'(x)>0 (crescente) em (-infty,-1) e em (-1,0).
    • Se x>0, então -x<0, logo g'(x)<0 (decrescente) em (0,1) e em (1,infty).

Passo 4

(c) Pontos críticos e naturezas
  • Em f, o único ponto crítico interno é x=e^-1. Pela troca de sinal de f' de negativo para positivo, f tem mínimo local em x=e^-1.
  • Em g, g'(x)=0 só em x=0 (que está no domínio). Como g' é positiva à esquerda de 0 e negativa à direita, g tem máximo local em x=0.

Passo 5

(d) Concavidade e pontos de inflexão
  1. Para f,
    f''(x)=1x
    Em (0,infty), f''(x)>0 sempre, logo f é sempre côncava para cima e não há ponto de inflexão.
  2. Para g,
    g''(x) =4(3x^2+1)(x^2-1)^3
    • Se |x|>1, então x^2-1>0 e g''(x)>0: concavidade para cima em (-infty,-1) e (1,infty).
    • Se |x|<1, então x^2-1<0 e g''(x)<0: concavidade para baixo em (-1,0) e (0,1).
      Não há pontos de inflexão no domínio, pois os únicos candidatos x=pm1 não pertencem ao domínio.

Passo 6

(e) Assíntotas
  1. Para f(x)=xln(x):
    • xto0^+: limxto0^+xln(x)=0.
    • xtoinfty: f(x)toinfty.
      Não há assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
  2. Para g(x)=2x^2x^2-1:
    • Verticais em x=pm1, pois o denominador zera.
    • Horizontais: limxtopminftyg(x)=2, logo y=2 é assíntota horizontal.
    • Não há oblíquas, pois o grau do numerador e do denominador são iguais (já temos a horizontal).

Passo 7

(f) Esboço do gráfico de g(x)
  • Em (-infty,-1): cresce de yto2 (quando xto-infty) até +infty (quando xto-1^-), concava para cima.
  • Entre -1 e 0: desce de +infty (em -1^+) até g(0)=0, concava para baixo.
  • Entre 0 e 1: desce de 0 (em 0) até -infty (em 1^-), concava para baixo, com máximo local em (0,0).
  • Em (1,infty): desce de +infty (em 1^+) até 2 (quando xtoinfty), concava para cima.
    As assíntotas verticais são x=-1 e x=1, e a horizontal é y=2.

Resposta

O gráfico de g(x) tem três ramos:
  • Ramo 1 em (-infty,-1), crescente e côncavo para cima, ligando y=2 (em -infty) a +infty (em -1^-).
  • Ramo 2 em (-1,0), decrescente e côncavo para baixo, vindo de +infty (em -1^+) ao máximo (0,0).
  • Ramo 3 em (0,1), decrescente e côncavo para baixo, de (0,0) a -infty (em 1^-).
  • Ramo 4 em (1,infty), decrescente e côncavo para cima, de +infty (em 1^+) a y=2 (em infty).
Assíntotas verticais: x=-1, x=1.
Assíntota horizontal: y=2.
Máximo local em (0,0).

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