Exercício 6. Calcule f^prime(x) nos casos abaixo:
f(x)=cosec(raizx).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cosec(raizx),,
ou seja, de csc(raizx). O conteúdo é aplicação da regra da cadeia e das derivadas elementares de função composta.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=gl(h(x)r),
onde
g(u)=csc(u) e h(x)=raizx=x^1/2

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(h(x)r)cdot h'(x)
Sabemos que
g'(u)=ddul[csc(u)r] =-csc(u)cot(u),
e
h'(x)=ddxl[x^1/2r] =12x^-1/2 =12raizx

Passo 4

Substituindo u=h(x)=raizx em g'(u) e multiplicando por h'(x), obtemos
f'(x) =-cscl(raizxr),cotl(raizxr),times12raizx =-csc(raizx);cot(raizx)2raizx

Resposta

f'(x)=-csc(raizx);cot(raizx)2raizx

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