Encontre a série de Maclaurin das funções abaixo:
f(x)=e^x^2

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^x^2, ou seja, a expansão em torno de x=0. Vamos usar o fato de que conhecemos a série de Maclaurin da exponencial e depois fazer a substituição adequada.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de e^u é
e^u = sumn=0^infty u^nn!,
válida para todo uinR.

Passo 3

Aqui basta tomar u=x^2. Substituindo na série obtemos
e^x^2 = sumn=0^infty (x^2)^nn! = sumn=0^infty x^2nn!

Passo 4

Concluímos que a série de Maclaurin de e^x^2 é
sumn=0^infty x^2nn!,
e tem raio de convergência infinito, pois a série exponencial converge para todo x.

Resposta

e^x^2 = sumn=0^infty x^2nn!

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