Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno derivado da equação do calor
l yt=yx x, para 0 <= t <= 40 y(0, t)=y(40, t)=0 y(x, 0)=50

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do calor unidimensional
yt=yxx, 0<= x<= 40,;0<= t<=40
com contorno de Dirichlet
y(0,t)=0, y(40,t)=0
e condição inicial
y(x,0)=50
O conteúdo aqui é separação de variáveis e série de Fourier (série de senos). Vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores do operador espacial e depois ajustar os coeficientes para a condição inicial constante.

Passo 2

Procuramos solução na forma
y(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE,
X(x),T'(t)=X''(x),T(t) ;Longrightarrow; T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Isto leva ao problema de autovalores em x:
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(40)=0
As soluções não-triviais exigem
lambdan=l(npi40r)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpi x40r), n=1,2,3,dots

Passo 3

Para cada lambdan a parte temporal satisfaz
Tn'(t)=-lambdan,Tn(t) ;Longrightarrow; Tn(t)=e^-lambdan t =e^-n^2pi^21600,t
Assim, a solução geral é a série
y(x,t)=sumn=1^inftyAn sin!l(tfracnpi x40r), e^-n^2pi^21600,t

Passo 4

Impondo y(x,0)=50 temos a expansão de Fourier em série de senos:
50=sumn=1^infty Ansin!(npi x40)
Os coeficientes são
An=240integral0^4050, sin!(npi x40),dx =100npi(1-(-1)^n)
Como 1-(-1)^n=0 para n par e 2 para n ímpar, obtemos
An= dfrac200npi,&n ímpar,[6pt] 0,&n par í]

Passo 5

Substituindo em y(x,t) ficamos com a soma apenas nos n=2k+1:
y(x,t) =sumk=0^infty 200(2k+1)pi sin!l(tfrac(2k+1)pi x40r) exp!l(-tfrac(2k+1)^2pi^21600,tr)

Resposta

boxed y(x,t) =sumk=0^infty 200(2k+1)pi sin!l((2k+1)pi x40r) exp!l(-(2k+1)^2pi^21600,tr)

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