Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a.
f(x)=x /(1-x), a=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=tfracx1-x em torno de a=0. Esse conteúdo é sobre séries de potências (Taylor em torno de zero) e vamos usar a expansão da série geométrica para 1/(1-x).

Passo 2

Lembrando que, para |x|<1, vale a série geométrica
11-x = sumn=0^infty x^n
Esse resultado é um clássico: basta reparar que a soma infinita convergente de x^n reproduz a forma de 1/(1-x).

Passo 3

Multiplicamos essa série por x para obter f(x)=x/(1-x). Assim,
x1-x = xcdotsumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n+1 = sumn=1^infty x^n
Aqui trocamos o índice nmapsto n+1 para ficar mais limpinho, começando em n=1.

Resposta

f(x)=x1-x = sumn=1^infty x^n, |x|<1

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