Julgue as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando sua escolha:
O ponto (0,0) é um ponto crítico de g(x, y)=x^2+k x y+y^2, não importando o valor da constante k.

Passo 1

O enunciado afirma que queremos verificar se (0,0) é ponto crítico da função
g(x,y)=x^2+kxy+y^2
para qualquer valor da constante k.
Conteúdo: definição de ponto crítico – são os pontos onde o gradiente de g se anula.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial x(x,y)=2x+k,y,
partial gpartial y(x,y)=k,x+2y

Passo 3

Avaliamo-las em (0,0):
partial gpartial x(0,0)=2cdot0+kcdot0=0,
partial gpartial y(0,0)=kcdot0+2cdot0=0
Como ambas as derivadas param em zero para todo k, o gradiente se anula em (0,0).

Resposta

V (verdadeira)

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