Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: f(x) = 1/((1-x)^(3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma série de potências centrada em para a função e determinar seu raio e intervalo de convergência. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre séries geométricas e como manipular essas séries para obter o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, lembremos da série geométrica básica, que é uma ferramenta fundamental para construir séries de potências. A série geométrica é dada por:
Essa fórmula nos diz que, enquanto o valor absoluto de for menor que 1, podemos expressar como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, precisamos relacionar isso com a nossa função . Observamos que pode ser obtido derivando a série geométrica básica duas vezes. Isso porque derivar uma série de potências aumenta a potência no denominador.

Passo 4

Vamos fazer a primeira derivada da série geométrica básica. Derivando ambos os lados da equação:
Calculando a derivada:

Passo 5

Vamos dar mais um passo: derivar a série novamente para chegar a . Derivando ambos os lados da última equação:
Calculando a derivada:

Passo 6

Agora, queremos isolar , então dividimos ambos os lados por 2:
Para simplificar a expressão, fazemos uma mudança de índice. Vamos substituir por , onde . Isso ajusta os limites da soma e a expressão em termos de :

Passo 7

Então, chegamos à série de potências centrada em para :

Passo 8

Por fim, determinamos o raio de convergência da série. Sabemos que a série geométrica original converge para . Como derivamos a série, o raio de convergência permanece o mesmo. Portanto, o raio de convergência é 1.
O intervalo de convergência é, então, todos os valores de onde , ou seja:

Resposta

A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

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