Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma série de potências centrada em
para a função
e determinar seu raio e intervalo de convergência. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre séries geométricas e como manipular essas séries para obter o resultado desejado.
Passo 2
Primeiro, lembremos da série geométrica básica, que é uma ferramenta fundamental para construir séries de potências. A série geométrica é dada por:
Essa fórmula nos diz que, enquanto o valor absoluto de
for menor que 1, podemos expressar
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar isso com a nossa função
. Observamos que
pode ser obtido derivando a série geométrica básica duas vezes. Isso porque derivar uma série de potências aumenta a potência no denominador.
Passo 4
Vamos fazer a primeira derivada da série geométrica básica. Derivando ambos os lados da equação:
Calculando a derivada:
Passo 5
Vamos dar mais um passo: derivar a série novamente para chegar a
. Derivando ambos os lados da última equação:
Calculando a derivada:
Passo 6
Agora, queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por 2:
Para simplificar a expressão, fazemos uma mudança de índice. Vamos substituir
por
, onde
. Isso ajusta os limites da soma e a expressão em termos de
:
Passo 7
Então, chegamos à série de potências centrada em
para
:
Passo 8
Por fim, determinamos o raio de convergência da série. Sabemos que a série geométrica original converge para
. Como derivamos a série, o raio de convergência permanece o mesmo. Portanto, o raio de convergência é 1.
O intervalo de convergência é, então, todos os valores de
onde
, ou seja:
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é
.