(Série de Taylor) Uma forma de obtermos a Série de potências de funções mais gerais é por meio da Série de Taylor. Dizemos que f tem uma expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0, se a série
f(x)=sumn=0^infty Cn(x-x0)^n,
com Cn=f^(n)(x0)n! é convergente para algum intervalo em torno de x0. Encontre a expansão em Série de Taylor em torno do ponto x0 indicado, para as funções abaixo:
f(x)=e^x^2 ; x0=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em Série de Taylor de f(x)=e^x^2 em torno de x0=1. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor e a propriedade de que produtos de séries exponenciais geram coeficientes fáceis de organizar. Em particular, faremos a mudança de variável h=x-1 para centralizar em zero.

Passo 2

Definindo h=x-1, temos x=1+h e
x^2=(1+h)^2=1+2h+h^2,
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f(x)=e^x^2=e^,1+2h+h^2=ecdot e^2hcdot e^h^2

Passo 3

Usamos as séries conhecidas:
e^2h=sumj=0^infty(2h)^jj! e e^h^2=summ=0^inftyh^2mm!

Passo 4

Multiplicando as duas séries e o fator e, obtemos
f(x)=esumj=0^inftysumm=0^infty 2^jj!,1m!,h^j+2m =esumn=0^inftygl[summ=0^lfloor n/2rfloor 2^,n-2m(n-2m)!,m!gr]h^n
Como h=x-1, isso já é a Série de Taylor de f em torno de x0=1.

Passo 5

Portanto, a expansão é
f(x)=esumn=0^inftygl[summ=0^lfloor n/2rfloor 2^,n-2m(n-2m)!,m!gr](x-1)^n
Os primeiros termos são, por exemplo,
f(x)=el[ 1+2(x-1)+3(x-1)^2+tfrac43(x-1)^3+cdots r]

Resposta

boxed f(x)=esumn=0^inftygl[ summ=0^lfloor n/2rfloor2^,n-2m(n-2m)!,m! gr](x-1)^n

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