(Série de Taylor) Uma forma de obtermos a Série de potências de funções mais gerais é por meio da Série de Taylor. Dizemos que
tem uma expansão em Série de Taylor em torno do ponto
, se a série
é convergente para algum intervalo em torno de
. Encontre a expansão em Série de Taylor em torno do ponto
indicado, para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em Série de Taylor de
em torno de
. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor e a propriedade de que produtos de séries exponenciais geram coeficientes fáceis de organizar. Em particular, faremos a mudança de variável
para centralizar em zero.
Passo 2
Definindo
, temos
e
logo
Passo 3
Usamos as séries conhecidas:
Passo 4
Multiplicando as duas séries e o fator
, obtemos
Como
, isso já é a Série de Taylor de
em torno de
.
Passo 5
Portanto, a expansão é
Os primeiros termos são, por exemplo,