Encontre uma série de potências de
de
e, derivando duas vezes, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de potências a função
derivar essa série duas vezes para obter expressões de
e
, e então usar esses resultados para mostrar que
Passo 2
Expandimos
pela série de Taylor em torno de 0, lembrando que
Aqui
, logo
Passo 3
Derivando uma vez termo a termo, obtemos a série para
:
e, em forma fechada,
Passo 4
Derivando mais uma vez, a série para
fica
e, em forma fechada,
Passo 5
Escolhemos
. Primeiro, de
e do valor fechado
, obtemos
logo
Depois, de
e de
, segue
Como
, isso dá
Passo 6
Agora somamos as duas séries obtidas: