Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
\left(3-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-y=0 \quad, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3 - x^2\bigr)\,y'' - 3x\,y' - y = 0
ao redor de x_0=0 usando séries de potências. Esse método consiste em supor
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
e determinar os coeficientes a_n via uma relação de recorrência obtida ao substituir essa série na EDO.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas da série genérica:
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n\,x^{n-1}, \quad y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.
Multiplicando-as conforme o enunciado, temos
3\,y'' = \sum_{n=2}^{\infty} 3\,n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}, \qquad -\,x^2\,y'' = -\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^n,
-\,3x\,y' = -\sum_{n=1}^{\infty} 3\,n\,a_n\,x^n, \qquad -\,y = -\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n.

Passo 3

Reindexamos o termo 3\,y'' para ter sempre potências x^n. Façamos n\mapsto n+2:
3\,y'' = \sum_{n=0}^{\infty} 3\,(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
Os outros três já estão em potências x^n. Somando tudo e igualando a zero, obtemos para todo n\ge0
3\,(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;-\;n(n-1)\,a_n \;-\;3n\,a_n \;-\;a_n \;=\;0.

Passo 4

Dentro da subtração somam-se os três termos em a_n:
n(n-1)+3n+1 = n^2 - n + 3n +1 = n^2 +2n +1 = (n+1)^2.
Logo a recorrência fica
3\,(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;=\;(n+1)^2\,a_n \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} =\frac{(n+1)^2}{3\,(n+2)(n+1)}\,a_n =\frac{n+1}{3\,(n+2)}\,a_n.

Passo 5

A relação a_{n+2}=\tfrac{n+1}{3(n+2)}\,a_n separa as séries em termos pares e ímpares:
  • Para n=2k obtemos a_{2k+2}=\tfrac{2k+1}{3(2k+2)}\,a_{2k}.
  • Para n=2k+1 obtemos a_{2k+3}=\tfrac{2k+2}{3(2k+3)}\,a_{2k+1}.
Tomando a_0 e a_1 livres, construímos as duas soluções fundamentais (par e ímpar). Nos primeiros termos:
y_{\mathrm{even}}(x)=a_0\Bigl(1 + \tfrac{x^2}{6} + \tfrac{x^4}{24} + \cdots\Bigr), \quad y_{\mathrm{odd}}(x)=a_1\Bigl(x + \tfrac{x^3}{4} + \tfrac{5\,x^5}{72} + \cdots\Bigr).

Resposta

A solução geral em série de potências em torno de x=0 é
y(x) = a_0\Bigl(1 + \tfrac{x^2}{6} + \tfrac{x^4}{24} + \cdots\Bigr) + a_1\Bigl(x + \tfrac{x^3}{4} + \tfrac{5\,x^5}{72} + \cdots\Bigr),
onde os coeficientes satisfazem
a_{n+2} = \frac{n+1}{3\,(n+2)}\,a_n.

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