Resolva as seguintes EDOs por séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ao redor de
usando séries de potências. Esse método consiste em supor
e determinar os coeficientes
via uma relação de recorrência obtida ao substituir essa série na EDO.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas da série genérica:
Multiplicando-as conforme o enunciado, temos
Passo 3
Reindexamos o termo
para ter sempre potências
. Façamos
:
Os outros três já estão em potências
. Somando tudo e igualando a zero, obtemos para todo
Passo 4
Dentro da subtração somam-se os três termos em
:
Logo a recorrência fica
Passo 5
A relação
separa as séries em termos pares e ímpares:
- Para
obtemos . - Para
obtemos .
Tomando
e
livres, construímos as duas soluções fundamentais (par e ímpar). Nos primeiros termos:
Resposta
A solução geral em série de potências em torno de
é
onde os coeficientes satisfazem