Encontre a série de Taylor de cada função nos pontos dados:
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x·cos(2x) em torno de x₀=π/2, isto é, expandir f em potências de h=x−π/2. Vamos usar conhecimentos de mudança de variável e da série de Maclaurin para o cosseno.
Passo 2
Definimos h = x−π/2. Então x = π/2 + h e 2x = 2h + π. Como cos(π + 2h) = −cos(2h), temos:
portanto
Passo 3
Precisamos da série de Maclaurin para
:
Passo 4
Agora expandimos cada parcela de f:
-
gera apenas termos pares
-
gera termos ímpares
Passo 5
Juntando as duas somas, obtemos a série de Taylor de f em torno de x₀=π/2 (com h=x−π/2):
$$
f(x)=\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-\frac{π}{2}(-1)k\frac{2^{2k}}{(2k)!}\Bigr
f(x)=\sum_{n=0}{\infty}a_n(x-\tfrac{π}{2})n,\quad
com\quad
a_n=
com\quad
a_n=
$$
Passo 6
Essa é a série pedida.
Passo 7
Resposta
A série de Taylor de f(x)=x\cos(2x) em torno de x₀=π/2, com h=x−π/2, é
$$
f(x)=\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-\frac{π}{2}(-1)k\frac{2{2k}}{(2k)!}\Bigr$$(x-\tfrac{π}{2}){2k}
+\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-(-1)k\frac{2{2k}}{(2k)!}\Bigr](x-\tfrac{π}{2}){2k+1}.
]
+\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-(-1)k\frac{2{2k}}{(2k)!}\Bigr](x-\tfrac{π}{2}){2k+1}.
]