Encontre a série de Taylor de cada função nos pontos dados:
x cos (2 x), x=pi2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x·cos(2x) em torno de x₀=π/2, isto é, expandir f em potências de h=x−π/2. Vamos usar conhecimentos de mudança de variável e da série de Maclaurin para o cosseno.

Passo 2

Definimos h = x−π/2. Então x = π/2 + h e 2x = 2h + π. Como cos(π + 2h) = −cos(2h), temos:
cos(2x)=cos(π+2h)=−cos(2h),
portanto
f(x)=xcos(2x)=(π/2+h)(−cos(2h))=−π2cos(2h)−hcos(2h)

Passo 3

Precisamos da série de Maclaurin para cos(2h):
cos(2h)=sumk=0^infty(-1)^k(2h)^2k(2k)! = sumk=0^infty(-1)^k2^2k(2k)!h^2k

Passo 4

Agora expandimos cada parcela de f:
  1. -π2cos(2h) gera apenas termos pares
-π2sumk=0^infty(-1)^k2^2k(2k)!h^2k
  1. -hcos(2h) gera termos ímpares
-sumk=0^infty(-1)^k2^2k(2k)!h^2k+1

Passo 5

Juntando as duas somas, obtemos a série de Taylor de f em torno de x₀=π/2 (com h=x−π/2):
$$
f(x)=\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-\frac{π}{2}(-1)k\frac{2^{2k}}{(2k)!}\Bigr
f(x)=\sum_{n=0}{\infty}a_n(x-\tfrac{π}{2})n,\quad
com\quad
a_n= f(x)=sumk=0^inftyl[-π2(-1)^k2^2k(2k)!rí
$$

Passo 6

Essa é a série pedida.

Passo 7

Resposta

A série de Taylor de f(x)=x\cos(2x) em torno de x₀=π/2, com h=x−π/2, é
$$
f(x)=\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-\frac{π}{2}(-1)k\frac{2{2k}}{(2k)!}\Bigr$$(x-\tfrac{π}{2}){2k}
+\sum_{k=0}{\infty}\Bigl[-(-1)k\frac{2{2k}}{(2k)!}\Bigr](x-\tfrac{π}{2}){2k+1}.
]

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