Exercício 2 Estude o comportamento das soluções dos problemas
l y ^ prime ( t ) - 1 / 2 y ( t ) = 2 operatorname c o s ( t ) , y ( 0 ) = a e l 2 y^prime(t)-y(t)=e^t / 3 y(0)=b

Passo 1

Temos dois problemas de valor inicial, ambos são EDOs lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-los vamos usar o método do fator integrante e depois estudar o comportamento das soluções quando t→∞.

Passo 2

Começando pelo primeiro: y'(t)-tfrac12y(t)=2cos t. Colocamos na forma padrão y'+p,y=g(t) com p=-tfrac12 e então o fator integrante é mu(t)=e^integral p,dt=e^-t/2. Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
ddtl(e^-t/2yr)=2e^-t/2cos t
Integramos o lado direito usando a fórmula integral e^atcos bt,dt=e^at(acos bt+bsin bt)/(a^2+b^2). Aqui a=-tfrac12, b=1:
integral2e^-t/2cos t,dt =2e^-t/2(1/4)+1l(-tfrac12cos t+sin tr) =85e^-t/2l(-tfrac12cos t+sin tr)
Assim
e^-t/2y=-45e^-t/2cos t+85e^-t/2sin t+C
e portanto
y(t)=C e^t/2+85sin t-45cos t

Passo 3

Impondo a condição inicial y(0)=a temos
a=C-45implies C=a+45
Logo a solução é
y1(t)=l(a+45r)e^t/2+85sin t-45cos t
Para t→∞ o termo (a+4/5)e^t/2 domina: salvo se a=-4/5 (caso em que a parte exponencial some e fica só a oscilação limitada), a solução cresce exponencialmente.

Passo 4

No segundo problema reescrevemos
2y'(t)-y(t)=e^t/3 como
y'(t)-tfrac12y(t)=tfrac12e^t/3
O fator integrante é de novo e^-t/2. Multiplicando:
ddtl(e^-t/2yr)=tfrac12e^-t/2e^t/3=tfrac12e^-t/6
Integrando:
integraltfrac12e^-t/6dt=-3e^-t/6+C
e voltando:
y(t)=e^t/2l(-3e^-t/6+Cr)=-3e^t/3+Ce^t/2

Passo 5

Impondo y(0)=b
b=-3+Cimplies C=b+3,
portanto
y2(t)=(b+3)e^t/2-3e^t/3
Aqui ambos os termos crescem exponencialmente ( e^t/2 domina), então para todo b a solução diverge como t→∞.

Resposta

As soluções são
y1(t)=l(a+tfrac45r)e^t/2+85sin t-45cos t,
com comportamento para t→∞ dominado por e^t/2 (crescimento exponencial), salvo se a=-4/5 em que fica apenas uma oscilação limitada;
y2(t)=(b+3)e^t/2-3e^t/3,
que também diverge exponencialmente para qualquer b, pois o termo e^t/2 sempre domina.

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