Exercício 2 Estude o comportamento das soluções dos problemas
Passo 1
Temos dois problemas de valor inicial, ambos são EDOs lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-los vamos usar o método do fator integrante e depois estudar o comportamento das soluções quando t→∞.
Passo 2
Começando pelo primeiro:
. Colocamos na forma padrão
com
e então o fator integrante é
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integramos o lado direito usando a fórmula
. Aqui
,
:
Assim
e portanto
Passo 3
Impondo a condição inicial
temos
Logo a solução é
Para t→∞ o termo
domina: salvo se
(caso em que a parte exponencial some e fica só a oscilação limitada), a solução cresce exponencialmente.
Passo 4
No segundo problema reescrevemos
como
O fator integrante é de novo
. Multiplicando:
Integrando:
e voltando:
Passo 5
Impondo
dá
portanto
Aqui ambos os termos crescem exponencialmente (
domina), então para todo
a solução diverge como t→∞.
Resposta
As soluções são
com comportamento para t→∞ dominado por
(crescimento exponencial), salvo se
em que fica apenas uma oscilação limitada;
que também diverge exponencialmente para qualquer
, pois o termo
sempre domina.