Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral x^2 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 e^x ,dx usando a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Vamos escolher as partes de modo a simplificar a integral. Seja u = x^2 e dv = e^x ,dx. Então temos
du = 2x ,dx, v = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2 e^x ,dx = u v - integral v,du = x^2 e^x - integral e^x (2x) ,dx = x^2 e^x - 2integral x e^x ,dx

Passo 4

Ainda falta integral x e^x ,dx. Novamente por partes, escolha u = x, dv = e^x ,dx. Assim:
du = dx, v = e^x,

Passo 5

e então
integral x e^x ,dx = x e^x - integral e^x ,dx = x e^x - e^x

Passo 6

Voltando à expressão inicial:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - 2l(x e^x - e^xr) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C

Passo 7

Para verificar, derivamos e^x(x^2 -2x +2):
ddxl[e^x(x^2 -2x +2)r] = e^x(x^2 -2x +2) + e^x(2x -2) = e^x x^2
Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

e^x(x^2 -2x +2) + C

Exercícios relacionados