Encontre a série de Taylor centrada em \alpha : f(x)=e^{x}, a=1
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Taylor centrada em a=1 da função f(x)=e^{x}.
Informações dadas:
A função é f(x)=e^{x}.
O centro da expansão (o ponto \alpha) é a=1.
A tarefa é escrever a série de Taylor (soma infinita em potências de (x-1)) que representa f(x) ao redor de x=1.
Passo 2
Apresento a fórmula geral da série de Taylor centrada em a. Esta fórmula é usada para escrever uma função como soma de potências em torno de um ponto a. A fórmula é:
f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a;
k! (lê-se “k fatorial”) é o produto k!=1\cdot 2\cdot 3\cdots k (e por convenção 0!=1);
(x-a)^{k} é a potência que descreve a dependência em x centrada em a.
Vou usar essa fórmula com a=1. Aqui cada termo da série tem a forma \dfrac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k.
Passo 3
Calculo as derivadas de f(x)=e^{x} e avalio em x=1. Observação importante: para a função exponencial e^{x} todas as derivadas são iguais à própria função. Ou seja,
f(x)=e^{x},\qquad f'(x)=e^{x},\qquad f''(x)=e^{x},\qquad f^{(k)}(x)=e^{x}\\ \text{para todo }k\ge 0.
Portanto, avaliando em x=1,
f^{(k)}(1)=e^{1}=e\quad\text{para todo }k\ge 0,
onde e é o número de Euler (aproximadamente 2,71828\ldots).
Passo 4
Substituo f^{(k)}(1)=e na fórmula da série de Taylor. Obtenho:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e}{k!}(x-1)^{k}.
Posso fatorar o e porque é constante em relação a k:
f(x)=e\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{k}}{k!}.
Esta é a série de Taylor centrada em 1. Uma observação útil: a soma \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{t^{k}}{k!} é exatamente a série da exponencial e^{t}. Tomando t=x-1 temos \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(x-1)^{k}}{k!}=e^{x-1}, e portanto a série acima reconstitui e\cdot e^{x-1}=e^{x}, como esperado.
Passo 5
Garanto que a série realmente converge para f(x) para todo x. Primeiro mostro convergência da série pela razão entre termos: considere os termos
Ao fazer k\to\infty essa razão tende a 0 para todo x fixo, logo pelo critério da razão a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Além disso, usando a forma do resto de Lagrange, para a exponencial podemos mostrar que o resto tende a zero quando o número de termos cresce, o que garante que a soma da série é exatamente f(x). Assim a série representa e^{x} para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Mostro os primeiros termos da expansão para ficar mais concreto (útil na prova para aproximações rápidas). Os primeiros termos da série são (substituindo k=0,1,2,3):
e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^{2} + \frac{e}{3!}(x-1)^{3} + \cdots.
Aqui cada coeficiente \dfrac{e}{k!} vem de f^{(k)}(1)/k!=e/k!. Se quiser aproximar e^{x} perto de x=1, é só truncar essa soma num certo grau n.
Passo 7
Resumo didático curtinho: a razão de termos iguais entre todas as derivadas de e^{x} torna a expansão muito simples — todos os coeficientes envolvem o mesmo e multiplicando potências de (x-1) divididas por k!. A série tem raio de convergência infinito, então vale para qualquer x.