Encontre a série de Taylor centrada em \alpha :
f(x)=\sqrt{1+x}, a=3

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\sqrt{1+x} centrada em a=3.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\;f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}.
\;a=3 (centro da expansão).
A forma geral da série de Taylor centrada em a é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n,
logo precisamos expressar f em potências de (x-3) ou obter os coeficientes \frac{f^{(n)}(3)}{n!}.

Passo 2

Primeira ideia simples (álgebra) para facilitar a expansão: escrever \sqrt{1+x} “em torno” de x=3. Note que
1+x = 4 + (x-3),
logo
\sqrt{1+x}=\sqrt{4+(x-3)}=2\sqrt{1+\frac{x-3}{4}}.
Essa forma é útil porque agora temos uma expressão do tipo (1+u)^{1/2} com u=\dfrac{x-3}{4}. Expandir em potências de u equivale a expandir em potências de (x-3).

Passo 3

Ferramenta que vamos usar: a série binomial generalizada. Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} (ou complexos) vale, para |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^n,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
(com produto vazio igual a 1 quando n=0). Aqui:
\alpha=\tfrac{1}{2} e u=\dfrac{x-3}{4}. Esse resultado é uma forma do desenvolvimento de Taylors para (1+u)^\alpha e dá diretamente os coeficientes sem calcular muitas derivadas.

Passo 4

Aplicando a série binomial com \alpha=\tfrac{1}{2} e u=\dfrac{x-3}{4} na expressão do Passo 2:
\sqrt{1+x}=2\left(1+\frac{x-3}{4}\right)^{1/2} =2\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-3}{4}\right)^n.
Podemos deixar em forma explícita de coeficiente:
\sqrt{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty} \left[2\binom{1/2}{n}4^{-n}\right](x-3)^n.
Aqui cada variável significa: n é o índice da soma; \binom{1/2}{n} é o produto \dfrac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)}{n!}; e o fator 4^{-n} vem de \left(\dfrac{x-3}{4}\right)^n. Essa é a série de Taylor centrada em 3 em forma de soma.

Passo 5

Para ficar mais concreto, vamos escrever os primeiros termos (calculando \binom{1/2}{n} explicitamente):
  • n=0:\;\binom{1/2}{0}=1 -> termo 2.
  • n=1:\;\binom{1/2}{1}=\tfrac{1}{2} -> termo 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\frac{x-3}{4}=\frac{x-3}{4}.
  • n=2:\;\binom{1/2}{2}=\dfrac{(1/2)(-1/2)}{2}=-\dfrac{1}{8} -> termo 2\cdot(-\tfrac{1}{8})\cdot\frac{(x-3)^2}{4^2}=-\dfrac{1}{64}(x-3)^2.
  • n=3:\;\binom{1/2}{3}=\dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}=\dfrac{1}{16} -> termo \dfrac{1}{512}(x-3)^3.
  • n=4:\;\binom{1/2}{4}=-\dfrac{5}{128} -> termo -\dfrac{5}{16384}(x-3)^4.
Portanto os primeiros termos são
\sqrt{1+x}=2+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{64}+\frac{(x-3)^3}{512}-\frac{5(x-3)^4}{16384}+\cdots.

Passo 6

Verificação rápida por derivadas (só para ver que bate com a definição de Taylor): calcular f(3),f'(3),f''(3) e formar \dfrac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n dá exatamente os coeficientes obtidos acima — por exemplo f(3)=2, f'(3)=\tfrac{1}{4} → termo linear \tfrac{1}{4}(x-3), e f''(3)=-\tfrac{1}{32} → termo quadrático -\tfrac{1}{64}(x-3)^2, confirmando os coeficientes.

Passo 7

Raio de convergência: a expansão em potências de u=(x-3)/4 converge enquanto |u|<1. Assim a série converge para
|x-3|<4.
Isto vem do fato de que a série binomial geral converge para |u|<1.

Resposta

\sqrt{1+x}=2\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}4^{-n}(x-3)^n
Válida para |x-3|<4.

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