Encontre a série de Taylor centrada em
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de
centrada em
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
.
(centro da expansão).
A forma geral da série de Taylor centrada em é
A forma geral da série de Taylor centrada em
logo precisamos expressar
em potências de
ou obter os coeficientes
.
Passo 2
Primeira ideia simples (álgebra) para facilitar a expansão: escrever
“em torno” de
. Note que
logo
Essa forma é útil porque agora temos uma expressão do tipo
com
. Expandir em potências de
equivale a expandir em potências de
.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar: a série binomial generalizada. Para qualquer
(ou complexos) vale, para
,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
(com produto vazio igual a
quando
). Aqui:
e
. Esse resultado é uma forma do desenvolvimento de Taylors para
e dá diretamente os coeficientes sem calcular muitas derivadas.
Passo 4
Aplicando a série binomial com
e
na expressão do Passo 2:
Podemos deixar em forma explícita de coeficiente:
Aqui cada variável significa:
é o índice da soma;
é o produto
; e o fator
vem de
. Essa é a série de Taylor centrada em
em forma de soma.
Passo 5
Para ficar mais concreto, vamos escrever os primeiros termos (calculando
explicitamente):
-
-> termo . -
-> termo . -
-> termo . -
-> termo . -
-> termo .
Portanto os primeiros termos são
Passo 6
Verificação rápida por derivadas (só para ver que bate com a definição de Taylor): calcular
e formar
dá exatamente os coeficientes obtidos acima — por exemplo
,
→ termo linear
, e
→ termo quadrático
, confirmando os coeficientes.
Passo 7
Raio de convergência: a expansão em potências de
converge enquanto
. Assim a série converge para
Isto vem do fato de que a série binomial geral converge para
.
Resposta
Válida para
.