Resolva as equações diferenciais:
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para encontrar as soluções
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e . - Há um fator
multiplicando no lado esquerdo. - A incógnita a determinar é a função
.
Não farei nada além de identificar o pedido e os dados neste passo.
Passo 2
Observação importante antes de manipular a equação: como aparece o fator
, existe a possibilidade de
(função constante) ser solução. Vou verificar isso explicitamente:
- Se
então e o lado esquerdo fica e o direito . Logo satisfaz a equação.
Portanto,é uma solução (chamada de solução singular ou solução constante). Ao resolver por separação de variáveis vou assumir temporariamente para poder dividir por ; depois volto a incluir a solução constante.
Passo 3
Reescrever a equação isolando
:
Agora, como
é
, esta equação é do tipo separável: podemos reunir termos em
de um lado e termos em
do outro. Dividindo ambos os lados por
(válido pois estamos tratando
) e multiplicando por
, obtemos
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Vou integrar ambos os lados. Primeiro explico a integral à esquerda:
- A regra usada é a da potência: para
,
Aqui tomamos
e
. Assim
Expliquei a substituição
porque
, o que torna a integral direta.
Passo 5
Agora a integral à direita:
Aqui é conveniente a substituição
, então
. Logo a integral vira
pois
para todo
, podemos retirar as barras de valor absoluto e escrever
.
Passo 6
Igualando as duas integrais (colocando uma constante só no lado direito ou combinando constantes) obtemos
onde
é a constante de integração (real). Agora resolvemos algebricamente para
. Primeiro isolamos
:
Chamando
por outra constante
(é costume trocar o sinal/ nome da constante para simplificar), escrevemos
onde
. Invertendo ambos os lados (lembrando que precisamos que o lado direito não seja zero), obtemos
Finalmente,
onde
é constante arbitrária real e a expressão é válida nos pontos
tais que
.
Passo 7
Resumo das soluções e condições:
- A solução constante
já encontrada é válida para todo . - A família geral obtida por separação é
com
. Essa família não inclui
(porque para
teríamos divisão por zero na separação), por isso precisamos listar a solução constante separadamente.
- Domínio: para cada
a solução está definida nos tais que . Valores onde são singularidades (vertical asymptote) da solução.