Resolva as equações diferenciais:
2 x(y+1){2}=\left(1+x{2}\right) y^{\prime}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2x(y+1)^{2} = (1+x^{2})\,y',
e pede para encontrar as soluções y(x). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com x e y.
  • Há um fator (y+1)^{2} multiplicando x no lado esquerdo.
  • A incógnita a determinar é a função y(x).
    Não farei nada além de identificar o pedido e os dados neste passo.

Passo 2

Observação importante antes de manipular a equação: como aparece o fator (y+1)^{2}, existe a possibilidade de y(x)\equiv -1 (função constante) ser solução. Vou verificar isso explicitamente:
  • Se y(x)=-1 então y'=0 e o lado esquerdo fica 2x\cdot 0 = 0 e o direito (1+x^2)\cdot 0 = 0. Logo y\equiv -1 satisfaz a equação.
    Portanto, y\equiv -1 é uma solução (chamada de solução singular ou solução constante). Ao resolver por separação de variáveis vou assumir temporariamente y\neq -1 para poder dividir por (y+1)^2; depois volto a incluir a solução constante.

Passo 3

Reescrever a equação isolando y':
y' = \frac{2x(y+1)^{2}}{1+x^{2}}.
Agora, como y' é \dfrac{dy}{dx}, esta equação é do tipo separável: podemos reunir termos em y de um lado e termos em x do outro. Dividindo ambos os lados por (y+1)^{2} (válido pois estamos tratando y\neq -1) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{dy}{(y+1)^{2}} = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Vou integrar ambos os lados. Primeiro explico a integral à esquerda:
  • A regra usada é a da potência: para u\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui tomamos u=y+1 e n=-2. Assim
\int \frac{dy}{(y+1)^{2}} = \int (y+1)^{-2}\,dy = \frac{(y+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{y+1} + C.
Expliquei a substituição u=y+1 porque du=dy, o que torna a integral direta.

Passo 5

Agora a integral à direita:
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui é conveniente a substituição v=1+x^{2}, então dv=2x\,dx. Logo a integral vira
\int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C = \ln(1+x^{2}) + C,
pois 1+x^{2}>0 para todo x, podemos retirar as barras de valor absoluto e escrever \ln(1+x^{2}).

Passo 6

Igualando as duas integrais (colocando uma constante só no lado direito ou combinando constantes) obtemos
-\frac{1}{y+1} = \ln(1+x^{2}) + C,
onde C é a constante de integração (real). Agora resolvemos algebricamente para y. Primeiro isolamos \dfrac{1}{y+1}:
\frac{1}{y+1} = -\ln(1+x^{2}) - C.
Chamando -C por outra constante K (é costume trocar o sinal/ nome da constante para simplificar), escrevemos
\frac{1}{y+1} = K - \ln(1+x^{2}),
onde K\in\mathbb{R}. Invertendo ambos os lados (lembrando que precisamos que o lado direito não seja zero), obtemos
y+1 = \frac{1}{K - \ln(1+x^{2})}.
Finalmente,
y(x) = \frac{1}{K - \ln(1+x^{2})} - 1,
onde K é constante arbitrária real e a expressão é válida nos pontos x tais que K - \ln(1+x^{2})\neq 0.

Passo 7

Resumo das soluções e condições:
  • A solução constante y\equiv -1 já encontrada é válida para todo x.
  • A família geral obtida por separação é
y(x) = \frac{1}{K - \ln(1+x^{2})} - 1,
com K\in\mathbb{R}. Essa família não inclui y\equiv -1 (porque para y\equiv -1 teríamos divisão por zero na separação), por isso precisamos listar a solução constante separadamente.
  • Domínio: para cada K a solução está definida nos x tais que K - \ln(1+x^{2})\neq 0. Valores onde K=\ln(1+x^{2}) são singularidades (vertical asymptote) da solução.

Resposta

\;y(x)=-1\n \;y(x)=\dfrac{1}{K-\ln(1+x^{2})}-1,\; K\in\mathbb{R}

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