População de ratos e predação por corujas: Uma população de ratos p(t) cresce a uma taxa proporcional à população com taxa r=0,5 por mês. Corujas na região consomem, em média, 450 ratos por mês (termo constante de predação).
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução com p(0)=850. (R.: EDO: \frac{d p}{d t}=0.5 p-450. Solução geral: p(t)=C e^{0.5 t}+900.)
(b) Encontre o ponto de equilibrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio p=900 (Instável).)
(c) Se p(0)=850, em que tempo a população é extinta (isto é, quando p(t)=0) ? (R.: t=2 \ln (18) meses.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informações dadas:
    • Taxa de crescimento proporcional à população com taxa r=0{,}5 por mês.
    • Predação constante de 450 ratos por mês (term​o negativo na variação).
    • Condição inicial para partes (a) e (c): p(0)=850.
  • Perguntas:
    • (a) Modelar por uma EDO e encontrar a solução geral e a solução particular com p(0)=850.
    • (b) Encontrar o ponto de equilíbrio e determinar se ele é estável ou instável.
    • (c) Para p(0)=850, determinar o tempo em que a população se extingue (ou seja, achar t tal que p(t)=0).

Passo 2

Montando a equação: crescimento proporcional gera um termo r p e predação constante subtrai 450. Portanto a EDO que modela a variação da população p(t) é
\frac{dp}{dt}=0{,}5\,p-450.
Aqui \frac{dp}{dt} é a taxa de variação da população por mês, 0{,}5p é o aumento devido à reprodução e 450 é o número de ratos removidos por mês pelas corujas.

Passo 3

Resolver a EDO homogênea associada: considere primeiro
\frac{dp}{dt}=0{,}5\,p.
Esta é separável. Separe e integre:
\frac{dp}{p}=0{,}5\,dt \quad\Rightarrow\quad \int\frac{1}{p}\,dp=\int 0{,}5\,dt.
Integrando obtemos \ln|p|=0{,}5t+C_1. Exponenciando,
p_h(t)=C e^{0{,}5t},
onde C é constante arbitrária (absorvi e^{C_1} em C).

Passo 4

Procurar uma solução particular constante: se houver uma solução constante p_p então \frac{dp_p}{dt}=0. Substituindo na EDO:
0=0{,}5\,p_p-450 \quad\Rightarrow\quad p_p=\frac{450}{0{,}5}=900.
Portanto p_p(t)=900 é uma solução particular (é também o ponto de equilíbrio da equação).

Passo 5

Combinar soluções (superposição para equações lineares de 1ª ordem): a solução geral é soma da homogênea com a particular:
p(t)=C e^{0{,}5t}+900.
Isto responde a parte da solução geral pedida.

Passo 6

Aplicar a condição inicial p(0)=850: coloque t=0 em p(t):
p(0)=C e^{0}+900=C+900=850 \quad\Rightarrow\quad C=-50.
Logo a solução com a condição inicial é
p(t)=-50 e^{0{,}5t}+900.
Verificação rápida: para t=0 p(0)=-50+900=850, correto.

Passo 7

Ponto de equilíbrio e estabilidade: equilíbrio p^* satisfaz 0=0{,}5\,p^*-450, o que já encontramos ao achar a solução particular. Assim
p^*=900.
Para estudar estabilidade, reescrevemos a EDO em termos do desvio x=p-p^*:
\frac{dp}{dt}=0{,}5(p-900)=0{,}5x.
A equação para x é \frac{dx}{dt}=0{,}5x. Coeficiente 0{,}5 é positivo, logo pequenas perturbações x crescem exponencialmente no tempo (o termo e^{0{,}5t} cresce). Portanto p^*=900 é um ponto de equilíbrio instável: se a população estiver um pouco acima de 900 ela tende a crescer; se estiver um pouco abaixo, tende a diminuir ainda mais, afastando-se de 900.

Passo 8

Tempo de extinção para p(0)=850: usar p(t)=-50 e^{0{,}5t}+900 e resolver p(t)=0:
-50 e^{0{,}5t}+900=0 \quad\Rightarrow\quad e^{0{,}5t}=\frac{900}{50}=18.
Tomando logaritmo natural,
0{,}5t=\ln 18 \quad\Rightarrow\quad t=2\ln 18.
Opcional: aproximação numérica t\approx 2\cdot 2{,}89037\approx 5{,}7807 meses, mas a forma exata pedida é 2\ln 18.

Passo 9

Recapitulando de forma encorajadora: você montou a EDO a partir das regras físicas (crescimento proporcional menos predação constante), resolveu separando homogênea e particular, aplicou a condição inicial e analisou estabilidade olhando o sinal do coeficiente. Mandou bem por acompanhar até aqui — esse tipo de exercício é muito frequente em provas.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dp}{dt}=0{,}5p-450. Solução geral: \displaystyle p(t)=C e^{0{,}5t}+900. Com p(0)=850: \displaystyle p(t)=-50 e^{0{,}5t}+900.
(b) Ponto de equilíbrio: \displaystyle p=900. Estabilidade: instável.
(c) Tempo de extinção para p(0)=850: \displaystyle t=2\ln 18 meses.

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