População de ratos e predação por corujas: Uma população de ratos
cresce a uma taxa proporcional à população com taxa
por mês. Corujas na região consomem, em média, 450 ratos por mês (termo constante de predação).
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução com
. (R.: EDO:
. Solução geral:
.)
(b) Encontre o ponto de equilibrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio
(Instável).)
(c) Se
, em que tempo a população é extinta (isto é, quando
? (R.:
meses.)
(a) Modele o problema por uma EDO e encontre a solução geral e a solução com
(b) Encontre o ponto de equilibrio e determine se ele é estável. (R.: Ponto de equilíbrio
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
Informações dadas:
- Taxa de crescimento proporcional à população com taxa
por mês. - Predação constante de
ratos por mês (termo negativo na variação). - Condição inicial para partes (a) e (c):
.
- Taxa de crescimento proporcional à população com taxa
-
Perguntas:
- (a) Modelar por uma EDO e encontrar a solução geral e a solução particular com
. - (b) Encontrar o ponto de equilíbrio e determinar se ele é estável ou instável.
- (c) Para
, determinar o tempo em que a população se extingue (ou seja, achar tal que ).
- (a) Modelar por uma EDO e encontrar a solução geral e a solução particular com
Passo 2
Montando a equação: crescimento proporcional gera um termo
e predação constante subtrai
. Portanto a EDO que modela a variação da população
é
Aqui
é a taxa de variação da população por mês,
é o aumento devido à reprodução e
é o número de ratos removidos por mês pelas corujas.
Passo 3
Resolver a EDO homogênea associada: considere primeiro
Esta é separável. Separe e integre:
Integrando obtemos
. Exponenciando,
onde
é constante arbitrária (absorvi
em
).
Passo 4
Procurar uma solução particular constante: se houver uma solução constante
então
. Substituindo na EDO:
Portanto
é uma solução particular (é também o ponto de equilíbrio da equação).
Passo 5
Combinar soluções (superposição para equações lineares de 1ª ordem): a solução geral é soma da homogênea com a particular:
Isto responde a parte da solução geral pedida.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
: coloque
em
:
Logo a solução com a condição inicial é
Verificação rápida: para
dá
, correto.
Passo 7
Ponto de equilíbrio e estabilidade: equilíbrio
satisfaz
, o que já encontramos ao achar a solução particular. Assim
Para estudar estabilidade, reescrevemos a EDO em termos do desvio
:
A equação para
é
. Coeficiente
é positivo, logo pequenas perturbações
crescem exponencialmente no tempo (o termo
cresce). Portanto
é um ponto de equilíbrio instável: se a população estiver um pouco acima de
ela tende a crescer; se estiver um pouco abaixo, tende a diminuir ainda mais, afastando-se de
.
Passo 8
Tempo de extinção para
: usar
e resolver
:
Tomando logaritmo natural,
Opcional: aproximação numérica
meses, mas a forma exata pedida é
.
Passo 9
Recapitulando de forma encorajadora: você montou a EDO a partir das regras físicas (crescimento proporcional menos predação constante), resolveu separando homogênea e particular, aplicou a condição inicial e analisou estabilidade olhando o sinal do coeficiente. Mandou bem por acompanhar até aqui — esse tipo de exercício é muito frequente em provas.
Resposta
(a)
Solução geral:
Com
:
(b) Ponto de equilíbrio:
. Estabilidade: instável.
(c) Tempo de extinção para
:
meses.