Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência:
f(x)=x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  • Encontrar a série de Taylor de f(x)=x^{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right) centrada em x=0.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right).
  • Não há outras informações numéricas; a expansão será em potências de x ao redor de 0.

Passo 2

Lembrete/curso rápido: a série de Taylor de \ln(1+u) centrada em u=0 é uma série bem conhecida (pode-se obter integrando a série geométrica). A fórmula é válida para |u|<1 e é
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{u^{n}}{n}.
Explicando cada pedaço dessa fórmula:
  • A soma vai de n=1 até infinito.
  • O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{u^{n}}{n}.
  • A condição |u|<1 garante convergência absoluta da série por comparação com a série geométrica (ou pelo teste da razão/raiz).
    Uma forma de lembrar: \ln(1+u)=u-\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{3}-\dfrac{u^{4}}{4}+\cdots.

Passo 3

Agora vamos usar essa série com a substituição u=x^{2}. Como a fórmula vale para |u|<1, ao substituir u=x^{2} a condição vira |x^{2}|<1, ou seja |x|<1.
Substituindo u=x^{2} na série de \ln(1+u) obtemos
\ln\!\left(1+x^{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{2n}}{n},\qquad \text{para }|x|<1.

Passo 4

A função que queremos é f(x)=x^{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right). Multiplicamos a série acima por x^{2} termo a termo (essa operação é válida dentro do raio de convergência):
f(x)=x^{2}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{2n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{2n+2}}{n}.
Aqui cada termo foi simplesmente multiplicado por x^{2}, mudando a potência de x^{2n} para x^{2n+2}.

Passo 5

Para ficar mais explícito, escrevendo os primeiros termos temos
f(x)=x^{4}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{8}}{3}-\frac{x^{10}}{4}+\cdots
o que corresponde ao termo geral que encontramos:
\text{termo geral: }\;(-1)^{\,n+1}\frac{x^{2n+2}}{n},\quad n=1,2,3,\dots

Passo 6

Agora o raio de convergência. A série original de \ln(1+u) tem raio de convergência 1 em u (converge para |u|<1). Como fizemos u=x^{2}, a condição |u|<1 é |x|^{2}<1 ou simplesmente |x|<1. Portanto o raio de convergência em x é 1.
Opcional — verificação rápida: o termo geral da série em x é a_{n}=(-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n+2}}{n}. Para |x|<1 os termos tendem a zero e a série converge; para |x|>1 os termos não tendem a zero (pois x^{2n} cresce) e a série diverge. Assim o raio é 1.

Passo 7

Observação sobre os pontos na fronteira |x|=1 (útil na prova): para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n},
que é a série alternada harmônica e converge (para \ln 2). Para x=-1 a potência x^{2n+2}=(-1)^{2n+2}=1 dá a mesma série, logo também converge para \ln 2. Assim a série converge nos dois extremos x=\pm 1, mas o raio (distância até a fronteira) permanece 1.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{x^{2n+2}}{n}=x^{4}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{8}}{3}-\cdots
\text{Raio de convergência: }1ê

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