Encontre a série de Taylor centrada em
e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O problema pede duas coisas:
- Encontrar a série de Taylor de
centrada em . - Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras informações numéricas; a expansão será em potências de
ao redor de .
Passo 2
Lembrete/curso rápido: a série de Taylor de
centrada em
é uma série bem conhecida (pode-se obter integrando a série geométrica). A fórmula é válida para
e é
Explicando cada pedaço dessa fórmula:
- A soma vai de
até infinito. - O termo geral é
. - A condição
garante convergência absoluta da série por comparação com a série geométrica (ou pelo teste da razão/raiz).
Uma forma de lembrar:.
Passo 3
Agora vamos usar essa série com a substituição
. Como a fórmula vale para
, ao substituir
a condição vira
, ou seja
.
Substituindo na série de
obtemos
Substituindo
Passo 4
A função que queremos é
. Multiplicamos a série acima por
termo a termo (essa operação é válida dentro do raio de convergência):
Aqui cada termo foi simplesmente multiplicado por
, mudando a potência de
para
.
Passo 5
Para ficar mais explícito, escrevendo os primeiros termos temos
o que corresponde ao termo geral que encontramos:
Passo 6
Agora o raio de convergência. A série original de
tem raio de convergência
em
(converge para
). Como fizemos
, a condição
é
ou simplesmente
. Portanto o raio de convergência em
é
.
Opcional — verificação rápida: o termo geral da série em
é
. Para
os termos tendem a zero e a série converge; para
os termos não tendem a zero (pois
cresce) e a série diverge. Assim o raio é
.
Passo 7
Observação sobre os pontos na fronteira
(útil na prova): para
a série vira
que é a série alternada harmônica e converge (para
). Para
a potência
dá a mesma série, logo também converge para
. Assim a série converge nos dois extremos
, mas o raio (distância até a fronteira) permanece
.