Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
A série de taylor de
centrada em a é dada por:
Calculando os valores das derivadas em
-
-
A série de taylor de
Calculando os valores das derivadas em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Perceba que as derivadas se repetem a cada quatro termos. Isso vai nos ajudar a identificar o padrão na série.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da série de Taylor:
Vamos escrever os primeiros termos para identificar o padrão:
Substituindo os valores das derivadas:
Então, simplificando:
Passo 5
Observando os termos, vemos que apenas os termos ímpares aparecem e os coeficientes alternam sinais. A série geral fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que determina o raio
onde a série converge.
Consideramos o termo geral
. Aplicando o teste:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de
. Portanto, o raio de convergência
é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.