Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=sen x, a=pi
A série de taylor de f(x) centrada em a é dada por: f(x) sumn=0^infty f(n)(a)n!(x-a)^n
Calculando os valores das derivadas em x=a=pi
  • f(pi)=sin pi=0, f^prime(pi)=cos pi=-1, f^prime prime(pi)=-sin pi=0
  • f^prime prime prime(pi)=-cos pi=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função f(x) = sin(x) centrada em a = pi . Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) centrada em a :
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n
Aqui, f^(n)(a) representa a n -ésima derivada de f avaliada em a , e n! é o fatorial de n .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) = sin(x) e avaliá-las em x = pi :
  1. Primeira derivada:
f'(x) = cos(x) Rightarrow f'(pi) = cos(pi) = -1
  1. Segunda derivada:
f''(x) = -sin(x) Rightarrow f''(pi) = -sin(pi) = 0
  1. Terceira derivada:
f'''(x) = -cos(x) Rightarrow f'''(pi) = -cos(pi) = 1
  1. Quarta derivada:
f''''(x) = sin(x) Rightarrow f''''(pi) = sin(pi) = 0
Perceba que as derivadas se repetem a cada quatro termos. Isso vai nos ajudar a identificar o padrão na série.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da série de Taylor:
sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi)n! (x - pi)^n
Vamos escrever os primeiros termos para identificar o padrão:
sin(x) = f(pi) + f'(pi)1!(x - pi) + f''(pi)2!(x - pi)^2 + f'''(pi)3!(x - pi)^3 + cdots
Substituindo os valores das derivadas:
sin(x) = 0 + -11(x - pi) + 02(x - pi)^2 + 16(x - pi)^3 + cdots
Então, simplificando:
sin(x) = - (x - pi) + 16(x - pi)^3 - 1120(x - pi)^5 + cdots

Passo 5

Observando os termos, vemos que apenas os termos ímpares aparecem e os coeficientes alternam sinais. A série geral fica:
sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (x - pi)^2k+1

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que determina o raio onde a série converge.
Consideramos o termo geral . Aplicando o teste:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sin(x) centrada em a = pi é:
sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (x - pi)^2k+1
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados