Integrar as equações diferenciais quando pedido.
Usar o método da variação de parâmetros.
(x+1) y^prime prime+y^prime=2

Passo 1

O enunciado pede resolver, via variação de parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
(x+1),y'' + y' = 2
Para isso, vamos primeiro escrever em forma padrão
y'' + 1x+1,y' = 2x+1,
identificar a parte homogênea e suas soluções fundamentais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 1x+1,y' = 0
Definindo p(x)=y'(x), temos
p' + 1x+1,p = 0
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral 1x+1,dxr)=x+1,
logo (x+1)p=C e
p = Cx+1
Integrando y'=p, obtemos
yh(x)=Cln|x+1|+D

Passo 3

Escolhemos como base de soluções independentes da homogênea
y1(x)=1, y2(x)=ln(x+1)
O Wronskiano é
W[y1,y2](x) = 1 & ln(x+1) 0 & tfrac1x+1 =1x+1

Passo 4

Na variação de parâmetros buscamos
yp=u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x),
onde
u1'=-y2(x),g(x)W, u2'=y1(x),g(x)W,
e g(x)=tfrac2x+1 é o termo não homogêneo na forma padrão.

Passo 5

Calculamos
u1'(x)=-ln(x+1),tfrac2x+1tfrac1x+1 =-2ln(x+1), u2'(x)=1cdottfrac2x+1tfrac1x+1=2
Integrando,
u1(x)=-2integral ln(x+1),dx =-2l[(x+1)ln(x+1)-(x+1)r], u2(x)=2x

Passo 6

O particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =-2(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+2xln(x+1)
Agrupando termos logarítmicos:
-2(x+1)ln(x+1)+2xln(x+1)=-2ln(x+1),
logo
yp(x)=2(x+1)-2ln(x+1)
A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1+C2ln(x+1)+2(x+1)-2ln(x+1)
Redefinindo constantes ( A=C1, B=C2-2),
y(x)=A+Bln(x+1)+2(x+1)

Resposta

boxedy(x)=A+Bln(x+1)+2(x+1),
com A,B constantes arbitrárias.

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