Integrar as equações diferenciais quando pedido.
Usar o método da variação de parâmetros.
Usar o método da variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede resolver, via variação de parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Para isso, vamos primeiro escrever em forma padrão
identificar a parte homogênea e suas soluções fundamentais.
Passo 2
A parte homogênea é
Definindo
, temos
O fator integrante é
logo
e
Integrando
, obtemos
Passo 3
Escolhemos como base de soluções independentes da homogênea
O Wronskiano é
Passo 4
Na variação de parâmetros buscamos
onde
e
g(x)=tfrac2x+1 é o termo não homogêneo na forma padrão.
Passo 5
Calculamos
Integrando,
Passo 6
O particular é
Agrupando termos logarítmicos:
logo
A solução geral é
Redefinindo constantes (
A=C1 ,
B=C2-2 ),
Resposta
com
A,B constantes arbitrárias.