Integrar as equações diferenciais quando pedido.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O método vai ser: (1) achar a solução geral da parte homogênea, (2) usar coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e (3) somar as duas.
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevendo a equação característica
, vemos que ela tem raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular
notamos que o segundo membro é
e que
não é solução da homogênea. Então suponhamos
com
,
,
a determinar.
Passo 4
Defina
. Então
Aplicando o operador
em
dá
Para anular a equação diferencial, deve valer
Passo 5
Como
temos
logo
Comparando com
obtemos o sistema
cuja solução é
,
,
.
Passo 6
Substituindo em
vem
A solução geral da equação original é