Integrar as equações diferenciais quando pedido.
y^prime prime-2 y^prime+y=(4 x^2+2) e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=(4x^2+2)e^-x
O método vai ser: (1) achar a solução geral da parte homogênea, (2) usar coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e (3) somar as duas.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-2y'+y=0
Escrevendo a equação característica r^2-2r+1=0, vemos que ela tem raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é
yh=(C1 + C2,x)e^x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular yp notamos que o segundo membro é (4x^2+2)e^-x e que e^-x não é solução da homogênea. Então suponhamos
yp = e^-x(a x^2 + b x + c),
com a, b, c a determinar.

Passo 4

Defina u(x)=a x^2 + b x + c. Então
yp = e^-xu, yp' = e^-x(u' - u), yp'' = e^-x(u'' - 2u' + u)
Aplicando o operador L[y]=y''-2y'+y em yp
L[yp] = e^-xl(u''-2u'+ur) -2,e^-xl(u'-ur) +e^-xu = e^-xl(u''-4u'+4ur)
Para anular a equação diferencial, deve valer
u''-4u'+4u = 4x^2+2

Passo 5

Como u=ax^2+bx+c temos
u' = 2ax+b, u''=2a,
logo
u''-4u'+4u = 2a -4(2ax+b) +4(ax^2+bx+c) =4ax^2 +(-8a+4b)x + (2a-4b+4c)
Comparando com 4x^2 + 0cdot x +2 obtemos o sistema
4a=4, -8a+4b=0, 2a-4b+4c=2,
cuja solução é a=1, b=2, c=2.

Passo 6

Substituindo em yp vem
yp = e^-x(x^2 +2x +2)
A solução geral da equação original é
y = yh + yp = C1 e^x + C2,x e^x + e^-x(x^2 +2x +2)

Resposta

y = C1 e^x + C2,x e^x + e^-x(x^2 +2x +2)

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