Resolva a equação linear
d yd x+yx+1=(x+1)^2

Passo 1

A equação dada é uma EDO de primeira ordem linear na forma dydx+P(x)y=Q(x). Aqui temos P(x)=1x+1 e Q(x)=(x+1)^2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para esse tipo de equação, o fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1x+1dx=e^ln|x+1|=x+1.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x+1 obtemos
(x+1)dydx+y=(x+1)^3.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de (x+1)y, pois ddx[(x+1)y]=(x+1)dydx+y.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
integralddx[(x+1)y],dx=integral(x+1)^3,dx
Isso dá
(x+1)y=(x+1)^44+C.
Por fim, isolamos y dividindo por x+1.

Resposta

y=(x+1)^34+Cx+1

Exercícios relacionados