Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
x-5x^4-4 x^3+3 x^2+4 x-4 <= x-3x^4-5 x^2+4

Passo 1

Resumindo: queremos resolver a inequação
x-5x^4-4x^3+3x^2+4x-4;<=;x-3x^4-5x^2+4
O conteúdo é manipulação de racionais e estudo de sinal. Vamos precisar fatorar cada denominador, juntar as frações, obter uma única razão e, então, fazer o estudo de sinal considerando zeros do numerador e pontos proibidos (zeros do denominador).

Passo 2

Fatoramos os denominadores:
x^4-4x^3+3x^2+4x-4=(x-1)(x-2)^2(x+1),
x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
Logo o denominador comum será
D=(x-1)(x-2)^2(x+1)(x+2)

Passo 3

Colocamos tudo em um único quociente:
x-5(x-1)(x-2)^2(x+1)-x-3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) =(x-5)(x+2)-(x-3)(x-2)D

Passo 4

Simplificamos o numerador:
(x-5)(x+2)=x^2-3x-10,(x-3)(x-2)=x^2-5x+6,
(x-5)(x+2)-(x-3)(x-2)=l(x^2-3x-10r)-l(x^2-5x+6r) =2x-16=2(x-8)
Portanto a inequação vira
2(x-8)(x-1)(x-2)^2(x+1)(x+2)<= 0

Passo 5

Os pontos críticos são zeros do numerador ( x=8) e zeros do denominador ( x=-2,-1,1,2, sendo x=2 de multiplicidade 2). Montamos o quadro de sinais em cada intervalo entre esses pontos, lembrando que (x-2)^2>0 sempre (não troca sinal):
Intervalo (x-8) (x-1)(x+1)(x+2) quociente
(-infty,-2) + (-2,-1) +
(-1,1) + (1,2) +
(2,8) +
(8,infty) + + +
Queremos quociente <=0, ou seja, negativo ou zero. É negativo em (-2,-1), (1,2) e (2,8); é zero em x=8. Nos pontos -2,-1,1,2 a expressão é indefinida, então ficam excluídos.

Resposta

(-2,-1);cup;(1,2);cup;(2,8]

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