Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.]
f(x)=1 / x, a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função f(x) = 1x centrada em a = 1 . A série de Taylor é uma maneira de representar funções como somas de potências de (x - a) . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) centrada em a :
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de f(x) = 1x em x = 1 .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de f(x) :
f'(x) = ddx(1x) = -1x^2
Avaliada em x = 1 :
f'(1) = -1

Passo 4

Agora, a segunda derivada:
f''(x) = ddx(-1x^2) = 2x^3
Avaliada em x = 1 :
f''(1) = 2

Passo 5

Vamos para a terceira derivada:
f'''(x) = ddx(2x^3) = -6x^4
Avaliada em x = 1 :
f'''(1) = -6

Passo 6

Observando o padrão das derivadas, percebemos que a n -ésima derivada de f(x) = 1x é:
f^(n)(x) = (-1)^n cdot n! cdot 1x^n+1
Avaliada em x = 1 :
f^(n)(1) = (-1)^n cdot n!

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da série de Taylor substituindo os termos que encontramos:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(1)n! (x - 1)^n = sumn=0^infty (-1)^n cdot n!n! (x - 1)^n = sumn=0^infty (-1)^n (x - 1)^n

Resposta

A série de Taylor de f(x) = 1x centrada em a = 1 é:
1x = sumn=0^infty (-1)^n (x - 1)^n

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