Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função
centrada em
. A série de Taylor é uma maneira de representar funções como somas de potências de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
em
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Avaliada em
:
Passo 4
Agora, a segunda derivada:
Avaliada em
:
Passo 5
Vamos para a terceira derivada:
Avaliada em
:
Passo 6
Observando o padrão das derivadas, percebemos que a
-ésima derivada de
é:
Avaliada em
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da série de Taylor substituindo os termos que encontramos:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é: