Exercício 10: Simplifique f(x+h)-f(x)h(com h neq 0) para f(x) igual a:
x+1x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferença
f(x+h)-f(x)h, hneq0,
onde
f(x)=x+1x^2+2
O conteúdo principal aqui é manipulação de frações algébricas: calcular f(x+h), fazer a diferença de duas frações, combinar denominadores, expandir, fatorar h e cancelá-lo.

Passo 2

Calcule f(x+h) substituindo x por x+h em f:
f(x+h) =(x+h)+1(x+h)^2+2 =x+h+1(x+h)^2+2

Passo 3

Escreva a diferença
f(x+h)-f(x) =x+h+1(x+h)^2+2-x+1x^2+2
e combine num único quociente:
f(x+h)-f(x) =(x+h+1)(x^2+2);-;(x+1)l((x+h)^2+2r) l((x+h)^2+2r)(x^2+2)
Então o quociente de diferença fica
f(x+h)-f(x)h =(x+h+1)(x^2+2)-(x+1)l((x+h)^2+2r) h;l((x+h)^2+2r)(x^2+2)

Passo 4

Agora expandimos o numerador e fatoramos h:
  1. Expanda (x+h+1)(x^2+2) como (x+1)(x^2+2)+h(x^2+2).
  2. Expanda (x+1)l((x+h)^2+2r) como (x+1)(x^2+2)+ (x+1)(2hx+h^2).
  3. Ao subtrair, os termos (x+1)(x^2+2) cancelam, restando
&h(x^2+2);-;(x+1)(2hx+h^2) &=hl(x^2+2r)-h,(x+1)(2x+h) &=hl[,(x^2+2)-(x+1)(2x+h)r]

Passo 5

Substituindo essa fatoração de h no quociente e cancelando hneq0, obtemos
f(x+h)-f(x)h =hl[(x^2+2)-(x+1)(2x+h)r] h;l((x+h)^2+2r)(x^2+2) =(x^2+2)-(x+1)(2x+h) l((x+h)^2+2r)(x^2+2)

Resposta

boxed f(x+h)-f(x)h =(x^2+2)-(x+1)(2x+h) l((x+h)^2+2r),(x^2+2)

Exercícios relacionados