Nos Problemas 11-18, use a Definição 7.1.1 para determinar Lf(t).
f(t)=t e^4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t e^4t. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a Definição 7.1.1, que diz:
Lf(t) = integral0^infty e^-st,f(t),dt

Passo 2

Substituindo f(t)=t e^4t na definição, obtemos
Lt e^4t = integral0^infty e^-st,t e^4t,dt = integral0^infty t,e^-(s-4)t,dt
Para que a integral convirja, precisamos de Re(s-4)>0, ou seja, Re(s)>4.

Passo 3

Para calcular a integral integral0^infty t e^-a t,dt com a=s-4, usamos integração por partes. Seja
u = t, dv = e^-a tdt Longrightarrow du = dt, v = -1ae^-a t
Então
integral0^infty t e^-a tdt = l[-tfractae^-a tr]0^infty + integral0^infty1ae^-a t,dt

Passo 4

No primeiro termo,
limttoinftyl(-tfractae^-a tr) - l(-tfrac0ae^-acdot0r) = 0
pois e^-a t domina t. No segundo termo,
1aintegral0^inftye^-a tdt = 1acdot1a = 1a^2
Substituindo a = s-4, concluímos que
Lt e^4t = 1(s-4)^2,
com região de convergência Re(s)>4.

Resposta

Lt e^4t = 1(s-4)^2

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