Encontre a série de Taylor de
centrada no valor indicado de
. (Dica: Suponha que a função
possua uma expansão em série de potências centrada em
. Não é necessário justificar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \sin(x) $ centrada no valor $ a = \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos usar o conceito de expansão em série de potências, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a $. A série é dada por:
Onde $ f^{(n)}(a) $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin(x) $ e avaliar cada uma em $ a = \frac{\pi}{2} $:
-
0ª derivada (a função original):
-
1ª derivada:
-
2ª derivada:
-
3ª derivada:
-
4ª derivada:
E assim por diante. Você percebe que as derivadas se repetem a cada 4 termos.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando, já que os termos com coeficiente zero desaparecem:
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $ é: