Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor indicado de a. (Dica: Suponha que a função f possua uma expansão em série de potências centrada em a. Não é necessário justificar que Rn(x) 0).
f(x)=sin x, ;; a=pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \sin(x) $ centrada no valor $ a = \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos usar o conceito de expansão em série de potências, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a $. A série é dada por:
f(x)
Onde $ f^{(n)}(a) $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin(x) $ e avaliar cada uma em $ a = \frac{\pi}{2} $:
  1. 0ª derivada (a função original):
    f(x) = sin(x)
  2. 1ª derivada:
    a = pi2
  3. 2ª derivada:
    f(x) = sin(x) Rightarrow f(pi2) = sin(pi2) = 1
  4. 3ª derivada:
    f'(x) = cos(x) Rightarrow f'(pi2) = cos(pi2) = 0
  5. 4ª derivada:
    f''(x) = -sin(x) Rightarrow f''(pi2) = -sin(pi2) = -1
E assim por diante. Você percebe que as derivadas se repetem a cada 4 termos.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que encontramos:
f(x) = sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n
Substituindo os valores:
sin(x) = 1 + 0 cdot (x - pi2) - 12! (x - pi2)^2 + 0 cdot (x - pi2)^3 + 14! (x - pi2)^4 + dots
Simplificando, já que os termos com coeficiente zero desaparecem:
sin(x) = 1 - 12! (x - pi2)^2 + 14! (x - pi2)^4 - 16! (x - pi2)^6 + dots

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \sin(x) $ centrada em $ a = \frac{\pi}{2} $ é:
f(x) = sin(x)

Exercícios relacionados