Encontre a série de Taylor para f(x) com centro a fornecido.
f(x)=c^{7 x}, a=3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=c^{7x}
centrada em a=3.
Para isso vamos usar a definição de série de Taylor de uma função infinitamente diferenciável:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.
Precisamos então achar a expressão geral de f^{(n)}(x) e avaliá-la em x=3.

Passo 2

Para facilitar o cálculo de derivadas, reescrevemos
f(x)=c^{7x}=e^{7x\ln c}.
A derivada de e^{7x\ln c} traz sempre um fator 7\ln c. Logo,
f'(x)=7\ln c\;e^{7x\ln c}=7\ln c\;c^{7x},
e por indução (ou repetindo a derivada) chega-se a
f^{(n)}(x)=(7\ln c)^{n}c^{7x}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=3:
f^{(n)}(3)=(7\ln c)^{n}c^{7\cdot 3}=(7\ln c)^{n}c^{21}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor em torno de a=3:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(7\ln c)^{n}c^{21}}{n!}(x-3)^{n}.
Extraindo o fator c^{21}, obtemos
f(x) =c^{21}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(7\ln c)^{n}}{n!}(x-3)^{n}.

Resposta

c^{7x} =c^{21}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(7\ln c)^{n}}{n!}(x-3)^{n}.

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